ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 541383 Добавить в вариант

Источник: ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 1

Классификатор алгебры: Комбинация прямых, Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Задача с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0$

имеет ровно два различных корня.

Решение.

Преобразуем уравнение, используя формулы сокращённого умножения:

$дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 плюс a правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно система выражений совокупность выражений a=3x,a= минус 3x, конец системы . a не равно x плюс 4,a не равно минус x минус 4. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 9x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 8x плюс 16 минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 3x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 3x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 4 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 плюс a правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно система выражений совокупность выражений a=3x,a= минус 3x, конец системы . a не равно x плюс 4,a не равно минус x минус 4. конец совокупности .$

Изобразим решение полученной системы на плоскости xOa. Графиком системы (изображено оранжевым) будет совокупность двух прямых $a=3x,a= минус 3x,$ исключая точки, которые лежат на прямых $a=x плюс 4,a= минус x минус 4,$ а именно: точки $левая круглая скобка минус 1;3 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 3 правая круглая скобка , левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка , левая круглая скобка 2; минус 6 правая круглая скобка .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$a меньше минус 6; минус 6 меньше a меньше минус 3; минус 3 меньше a меньше 0;0 меньше a меньше 3;3 меньше a меньше 6;иa больше 6.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 6; минус 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 3;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получены все значения a, но некоторые граничные точки включены/исключены неверно.	3
С помощью верного рассуждения получены не все значения a.	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 541383: 541827 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 1

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 541827 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 10.07.2013. Вторая волна. Центр. Вариант 602;

ЕГЭ по математике 27.03.2020. Досрочная волна. Вариант 2.

Классификатор алгебры: Комбинация прямых, Координаты (x, a), Уравнения с параметром

Задача с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: 4x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 6x плюс 9 минус a в квадрате конец дроби =0$

имеет ровно два различных корня.

Решение.

Преобразуем уравнение, используя формулы сокращённого умножения:

$дробь: числитель: 4x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 6x плюс 9 минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 плюс a правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно система выражений совокупность выражений a=2x,a= минус 2x, конец системы . a не равно x плюс 3,a не равно минус x минус 3. конец совокупности .$ $дробь: числитель: 4x в квадрате минус a в квадрате , знаменатель: x в квадрате плюс 6x плюс 9 минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка в квадрате минус a в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс a правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 3 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 плюс a правая круглая скобка конец дроби =0 равносильно система выражений совокупность выражений a=2x,a= минус 2x, конец системы . a не равно x плюс 3,a не равно минус x минус 3. конец совокупности .$

Изобразим решение полученной системы на плоскости xOa. Графиком системы (изображено синим) будет совокупность двух прямых $a=2x,a= минус 2x,$ исключая точки, которые лежат на прямых $a=x плюс 3,a= минус x минус 3,$ а именно: точки $левая круглая скобка минус 1;2 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус 1; минус 2 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3;6 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3; минус 6 правая круглая скобка .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$a меньше минус 6; минус 6 меньше a меньше минус 2; минус 2 меньше a меньше 0;0 меньше a меньше 2;2 меньше a меньше 6;иa больше 6.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 6; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 2;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2;6 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 6; плюс бесконечность правая круглая скобка .$