Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой BD1.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB1 и B1D.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 
и 
а) Прямая 
перпендикулярна плоскости ABC. Прямая 
перпендикулярна плоскости α. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми 
и 
б) В прямоугольнике 
угол 
равен углу 
Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен
Следовательно,
Рассмотрим прямоугольный треугольник Его катеты равны 
и
Значит,
а потому 
Ответ: 
Примечание Дмитрия Гущина.
Для решения задачи этого не требуется, но, анализируя задачу, полезно построить сечение параллелепипеда плоскостью α. Чтобы построить сечение, проходящее через данную точку и перпендикулярное данной прямой, достаточно через эту точку провести две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой. Проведенные прямые зададут искомую плоскость. Проделаем это для нашей задачи.
В плоскости основания проведем через точку P — середину стороны основания АD, прямую PQ, перпендикулярную диагонали основания BD. Прямая BD является проекцией прямой BD1 на плоскость основания, а потому по теореме о трех перпендикулярах прямые PQ и BD1 взаимно перпендикулярны. Итак, PQ — одна из двух необходимых прямых. Обозначим точку пересечения прямых PQ и BD буквой К. Чтобы построить вторую прямую, проведем в треугольнике BPD1 высоту PH к стороне BD1. Прямая, содержащая BH, — искомая.
Двумя вершинами сечения являются точки P и Q. Найдем оставшиеся вершины. Через точки K и H проведем прямую KH. Она лежит в сечении, а потому точка R ее пересечения с ребром BB1 также является вершиной сечения. Наконец, параллельные плоскости BCC1B1 и ADD1A1 плоскость сечения пересекает по параллельным прямым, а потому в плоскости ADD1A1 осталось через точку P провести прямую, параллельную QR. Точка S пересечения это прямой с ребром АА1 — еще одна вершина сечения. Соединив вершины, получим четырехугольник PQRS — искомое сечение.
Примечание.
Читателю будет полезно сравнить решение этой задачи с задачами 634951 и 561194.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Плоскость α проходит через середину ребра AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой BD1.
а) Докажите, что угол между плоскостью α и плоскостью ABC равен углу между прямыми BB1 и B1D.
б) Найдите угол между плоскостью α и плоскостью ABC, если объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 
и 
а) В прямоугольнике
угол 
равен углу Прямая 
перпендикулярна плоскости ABC. Прямая перпендикулярна плоскости α. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между прямыми и
б) Объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен
Следовательно,
Рассмотрим прямоугольный треугольник Его катеты равны 
и
Значит,
следовательно 
Ответ:
Примечание о построении сечения.
Для решения задачи этого не требуется, но, анализируя задачу, полезно построить сечение параллелепипеда плоскостью α. Чтобы построить сечение, проходящее через данную точку и перпендикулярное данной прямой, достаточно через эту точку провести две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой. Проведенные прямые зададут искомую плоскость. Проделаем это для нашей задачи.
В плоскости основания проведем через точку P — середину стороны основания АD, прямую PQ, перпендикулярную диагонали основания BD. Прямая BD является проекцией прямой BD1 на плоскость основания, а потому по теореме о трех перпендикулярах прямые PQ и BD1 взаимно перпендикулярны. Итак, PQ — одна из двух необходимых прямых. Обозначим точку пересечения прямых PQ и BD буквой К. Чтобы построить вторую прямую, проведем в треугольнике BPD1 высоту PH к стороне BD1. Прямая, содержащая BH, — искомая.
Двумя вершинами сечения являются точки P и Q. Найдем оставшиеся вершины. Через точки K и H проведем прямую KH. Она лежит в сечении, а потому точка R ее пересечения с ребром BB1 также является вершиной сечения. Наконец, параллельные плоскости BCC1B1 и ADD1A1 плоскость сечения пересекает по параллельным прямым, а потому в плоскости ADD1A1 осталось через точку P провести прямую, параллельную QR. Точка S пересечения это прямой с ребром АА1 — еще одна вершина сечения. Соединив вершины, получим четырехугольник PQRS — искомое сечение.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх