Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
Заметим, что
а потому первое уравнение системы эквивалентно системе
Решим задачу графо-аналитическим способом. В системе координат xOy графиком первого уравнения исходной системы является совокупность полуокружности 
и участка параболы 
на отрезке 
с выколотыми точками 
Графиком второго уравнения для каждого значения параметра является горизонтальная прямая. Система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда графики уравнений имеют ровно две общие точки. Из построенных графиков находим искомые значения y:
Следовательно,
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при котором система уравнений
Построим график первого уравнения системы. Оно определено, если 
и одновременно 
то есть на множестве 
При таких значениях переменной дробь равна нулю, если один из множителей, стоящих в числителе, равен нулю. Тем самым получаем:
График функции (1) — верхняя полуокружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 
График функции (2) — парабола с вершиной в точке (0; 2), имеющая нули в точках 
Второе уравнение системы запишем в виде 
его графиком являются множество прямых, проходящих через точку (−1; −1).
Обозначим точки, как показано на рисунке. Исходная система имеет единственное решение, если графики ее первого и второго уравнений имеют ровно одну общую точку. Это возможно, если задаваемая вторым уравнением прямая проходит: а) через точку A, б) через точку B, в) так, что часть прямой, лежащая справа от точки P, расположена ниже прямой PC, но не ниже прямой PD (на рисунке график первого уравнения выделен цветом жимолости, подходящие графики второго уравнения выделены апельсиновым).
Найдем, при каких значениях параметра, прямая 
проходит через:
1) точку A, тогда: 
откуда 
2) точку B, тогда: 
откуда 
3) точку C, тогда: 
откуда 
4) точку D, тогда: 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки a = −2. | 3 |
| Верно рассмотрен хотя бы один из случаев решения, и получено или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или множество значений a, отличающиеся от искомого только включением точек a = 0, i > = −1 и/или i > = −2. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения параболы и лучей (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Наверх