а)  Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­ли AC па­рал­ле­ло­грам­ма с общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной l к дан­ным окруж­но­стям, P и Q  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мой l со сто­ро­на­ми AD и BC со­от­вет­ствен­но. До­ста­точ­но до­ка­зать, что O  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли AC.

Пусть O₁ и O₂  — цен­тры пер­вой и вто­рой окруж­но­стей со­от­вет­ствен­но. Пер­вая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AD в точке K, вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке L.

Лучи AO₁ и CO₂  — бис­сек­три­сы рав­ных углов BAD и BCD, зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKO₁ и CLO₂ равны по ка­те­ту (ра­ди­у­сы рав­ных окруж­но­стей) и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. Тогда AK  =  CL. Ана­ло­гич­но KP  =  LQ. Сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AOP и COQ равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам, по­это­му AO  =  OC, а точка O  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли AC, то есть центр па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

б)  ABCD  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му его сто­ро­на AD равна сумме диа­мет­ра окруж­но­сти и от­рез­ка O₁O₂, то есть 2r + O₁O₂  =  AD, 2r + 10  =  16, сле­до­ва­тель­но, r  =  3.

Четырёхуголь­ник O₁MO₂N  — па­рал­ле­ло­грамм, по­сколь­ку его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны O₁M и O₂N равны и па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли O₁O₂ и MN па­рал­ле­ло­грам­ма O₁MO₂N пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O и де­лят­ся этой точ­кой по­по­лам.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма O₁MO₂N в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка OO₁M, в ко­то­ром По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 24.

а)  Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­ли AC па­рал­ле­ло­грам­ма с общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной l к дан­ным окруж­но­стям, P и Q  — точки пе­ре­се­че­ния пря­мой l со сто­ро­на­ми AD и BC со­от­вет­ствен­но. До­ста­точ­но до­ка­зать, что O  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли AC.

Пусть O₁ и O₂  — цен­тры пер­вой и вто­рой окруж­но­стей со­от­вет­ствен­но. Пер­вая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны AD в точке K, вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся сто­ро­ны BC в точке L.

Лучи AO₁ и CO₂  — бис­сек­три­сы рав­ных углов BAD и BCD, зна­чит, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AKO₁ и CLO₂ равны по ка­те­ту (ра­ди­у­сы рав­ных окруж­но­стей) и про­ти­во­ле­жа­ще­му остро­му углу. Тогда AK  =  CL. Ана­ло­гич­но KP  =  LQ. Сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки AOP и COQ равны по сто­ро­не и двум при­ле­жа­щим к ней углам, по­это­му AO  =  OC, а точка O  — се­ре­ди­на диа­го­на­ли AC, то есть центр па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

б)  По­сколь­ку ABCD  — пря­мо­уголь­ник, его сто­ро­на AD равна сумме диа­мет­ра окруж­но­сти и от­рез­ка O₁O₂, то есть 2r + O₁O₂  =  AD, 2r + 20  =  36, сле­до­ва­тель­но, r  =  8.

Четырёхуголь­ник O₁MO₂N  — па­рал­ле­ло­грамм, так как его про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны O₁M и O₂N равны и па­рал­лель­ны. Диа­го­на­ли O₁O₂ и MN па­рал­ле­ло­грам­ма O₁MO₂N пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O и де­лят­ся этой точ­кой по­по­лам.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма O₁MO₂N в че­ты­ре раза боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка OO₁M, в ко­то­ром По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б) 96.