Варианты заданий
Версия для печати и копирования в MS Word1
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка P — середина бокового ребра SD, а точка N — середина ребра CD. Плоскость ABP пересекает боковое ребро SC в точке K.
а) Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости ABS.
а значит, прямая CD параллельна плоскости ABP и поэтому CD не имеет общих точек с прямой PK, лежащей в плоскости сечения. Так как PK и CD не имеют общих точек и лежат в плоскости SCD, они параллельны.
и 
следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN — точки E.
и 
откуда следует, что четырехугольник ADNL — прямоугольник и 
то есть L — середина AB.
Поскольку прямая AB перпендикулярна пересекающимся прямым LN и SL, она перпендикулярна плоскости SNL, а раз AB лежит в плоскости ABS, плоскости ABS и SNL перпендикулярны. Тогда перпендикуляры NT и EF к плоскости ABS из точек N и E плоскости SNL попадут на прямую их пересечения SL.
) и катету (
), поэтому другие катеты SN и SL также равны. Рассмотрим равнобедренный треугольник SNL, в котором 
основание 
а высота и медиана к нему 
По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём
откуда 
поэтому 
В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому 
2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. K — середина ребра SD, N — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P.
а) Докажите, что прямая PK делит отрезок NS пополам.
б) Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS, если SH = 15, CD = 16.
следует, прямая PK параллельна прямой AB, а следовательно, и всей плоскости ABS. Значит, расстояние от любой точки прямой PK до плоскости ABS будет одинаковым. Найдём это расстояние от точки пересечения PK и SN — точки E.
а высота и медиана к нему 
По теореме Пифагора для треугольника LHS найдём 
поэтому 
В прямоугольном треугольнике SNT с прямым углом T отрезок EF перпендикулярен ST и проходит через середину SN, а значит, является средней линией треугольника SNT, поэтому 
