ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 563574 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург;

Задания 13 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Сведение к однородному

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $2 синус в кубе x плюс корень из 2 косинус 2 x плюс синус x= корень из 2 .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус 2 Пи правая квадратная скобка .$

Решение.

По формуле косинуса двойного угла $косинус 2x = 1 минус 2 синус в квадрате x.$ Обозначим $t = синус x,$ тогда

$2 t в кубе плюс корень из 2 левая круглая скобка 1 минус 2t в квадрате правая круглая скобка плюс t = корень из 2 равносильно 2 t в кубе минус 2 корень из 2 t в квадрате плюс t = 0 равносильно$

$равносильно t левая круглая скобка 2 t в квадрате минус 2 корень из 2 t плюс 1 правая круглая скобка = 0 равносильно t левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента t минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно совокупность выражений t = 0,t = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений синус x = 0, синус x = дробь: числитель: корень из 2 }2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$

Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни $минус 2 Пи ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 2 Пи ,$ $минус 3 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 563574: 563547 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург;

Задания 13 ЕГЭ–2021.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 13 № 563547 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье;

Задания 13 ЕГЭ–2021.

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата, Сведение к однородному

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители

а)  Решите уравнение $4 синус в кубе x плюс 2 корень из 3 косинус 2x плюс 3 синус x= 2 корень из 3 .$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение.

По формуле косинуса двойного угла $косинус 2x = 1 минус 2 синус в квадрате x.$ Обозначим $t = синус x,$ тогда

$4 t в кубе плюс 2 корень из 3 левая круглая скобка 1 минус 2t в квадрате правая круглая скобка плюс 3t = 2 корень из 3 равносильно 4 t в кубе минус 4 корень из 3 t в квадрате плюс 3t = 0 равносильно$

$равносильно t левая круглая скобка 4 t в квадрате минус 4 корень из 3 t плюс 3 правая круглая скобка = 0 равносильно t левая круглая скобка 2t минус корень из 3 правая круглая скобка в квадрате = 0 равносильно совокупность выражений t = 0,t = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .$

Вернемся к исходной переменной, получим:

$совокупность выражений синус x = 0, синус x = дробь: числитель: корень из 3 }2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x = Пи k, x = дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$

Чтобы отобрать корни, лежащие на заданном отрезке, воспользуемся тригонометрической окружностью (см. рис.). Получим корни $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус 3 Пи ,$ $минус 2 Пи ,$ $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 563574: 563547 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье;

Задания 13 ЕГЭ–2021.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе