ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 563579 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург;

Задания 18 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$|x в квадрате минус a в квадрате |=|x плюс a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус ax плюс 4a конец аргумента$

имеет ровно два различных корня.

Решение.

Преобразуем уравнение:

$|x в квадрате минус a в квадрате |=|a плюс x| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус ax плюс 4a конец аргумента равносильно$

$равносильно |x плюс a||x минус a| минус |x плюс a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус ax плюс 4a конец аргумента = 0 равносильно |x плюс a| левая круглая скобка |x минус a| минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус ax плюс 4a конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$ $равносильно |x плюс a||x минус a| минус |x плюс a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус ax плюс 4a конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно |x плюс a| левая круглая скобка |x минус a| минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус ax плюс 4a конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,x в квадрате минус ax плюс 4a больше или равно 0, конец системы . левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате минус ax плюс 4a конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,2a в квадрате плюс 4a больше или равно 0, конец системы . a в квадрате минус ax минус 4a = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,a меньше или равно минус 2 или a больше или равно 0, конец системы . a левая круглая скобка a минус x минус 4 правая круглая скобка = 0. конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,x в квадрате минус ax плюс 4a больше или равно 0, конец системы . левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате минус ax плюс 4a конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,2a в квадрате плюс 4a больше или равно 0, конец системы . a в квадрате минус ax минус 4a = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = минус a,a меньше или равно минус 2 или a больше или равно 0, конец системы . a левая круглая скобка a минус x минус 4 правая круглая скобка = 0. конец совокупности .$

Следовательно, уравнение имеет решение −а, если $a меньше или равно минус 2$ или $a больше или равно 0.$ Для того чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение $a левая круглая скобка a минус x минус 4 правая круглая скобка = 0$ (⁎) имело единственное отличное от −а решение.

При а  =  0 уравнение (⁎) имеет бесконечно много решений, а при всех остальных а  — одно: $x=a минус 4.$ Заметим, что корни $минус a$ и $a минус 4$ совпадают при $a=2.$ Поэтому искомыми значениями параметра являются $a меньше или равно минус 2$ или $0 меньше a не равно 2.$

Ответ: $a меньше или равно минус 2,$ или $0 меньше a меньше 2,$ или $a больше 2.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только исключением точки a = –2.	3
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек a  =  0 и/⁠или a  =  2, возможно, с исключением точки a  =  –2. ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения.	2
Задача сведена к исследованию корней двух уравнений x + a = 0 при $x в квадрате минус ax плюс 4a больше или равно 0,$ $a в квадрате минус ax минус 4a=0$ при всех a.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев.	0
Максимальный балл	4

Ответ: $a меньше или равно минус 2,$ или $0 меньше a меньше 2,$ или $a больше 2.$

Аналоги к заданию № 563579: 563554 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург;

Задания 18 ЕГЭ–2021.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 563554 Добавить в вариант

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье;

Задания 18 ЕГЭ–2021.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$|x в квадрате минус a в квадрате |=|x минус a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец аргумента$

имеет ровно два различных корня.

Решение.

Преобразуем уравнение:

$|x в квадрате минус a в квадрате |=|x минус a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец аргумента равносильно$

$равносильно |x минус a||x плюс a| минус |x минус a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец аргумента = 0 равносильно |x минус a| левая круглая скобка |x плюс a| минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$ $равносильно |x минус a||x плюс a| минус |x минус a| корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец аргумента = 0 равносильно$
$равносильно |x минус a| левая круглая скобка |x плюс a| минус корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец аргумента правая круглая скобка = 0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений x = a,x в квадрате минус 4ax плюс 5a больше или равно 0, конец системы . левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = a,3a в квадрате минус 5a меньше или равно 0, конец системы . a в квадрате плюс 6ax минус 5a = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = a, 0 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби , конец системы . a левая круглая скобка a плюс 6x минус 5 правая круглая скобка = 0. конец совокупности .$ $равносильно совокупность выражений система выражений x = a,x в квадрате минус 4ax плюс 5a больше или равно 0, конец системы . левая круглая скобка x плюс a правая круглая скобка в квадрате = x в квадрате минус 4ax плюс 5a конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений система выражений x = a,3a в квадрате минус 5a меньше или равно 0, конец системы . a в квадрате плюс 6ax минус 5a = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x = a, 0 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби , конец системы . a левая круглая скобка a плюс 6x минус 5 правая круглая скобка = 0. конец совокупности .$

Следовательно, уравнение имеет решение $x=a,$ если $0 меньше или равно a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$ Для того, чтобы уравнение имело два различных решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение $a левая круглая скобка a плюс 6x минус 5 правая круглая скобка = 0$ (⁎) имело единственное отличное от а решение.

При а  =  0 уравнение (⁎) имеет бесконечно много решений, а при всех остальных а  — одно: $x= дробь: числитель: 5 минус a, знаменатель: 6 конец дроби .$ Заметим, что корни a и $дробь: числитель: 5 минус a, знаменатель: 6 конец дроби$ совпадают при $a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби .$ Поэтому искомыми значениями параметра являются $0 меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби$ или $дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $0 меньше a меньше дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби$ или $дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби меньше a меньше или равно дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Решение не соответствует ни одному из критериев.	0
Задача сведена к исследованию корней двух уравнений x = a при $x в квадрате минус 4ax плюс 5a больше или равно 0,$ $a в квадрате плюс 6ax минус 5a=0$ при всех a.	1
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только включением точек a = 0 и / или $a = дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби ,$ возможно, с исключением точки $a = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби$ ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения	2
С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого только исключением точки $a = дробь: числитель: 5, знаменатель: 3 конец дроби .$	3
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 563579: 563554 Все

Источники:

ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Подмосковье;

Задания 18 ЕГЭ–2021.

РешениеСпрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе