а)  Пусть тогда Углы CDN и ADM равны как вер­ти­каль­ные, тогда и Тогда Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки ABM и BCN равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, сле­до­ва­тель­но, BM  =  BN.

б)  Рав­ные углы MAN и NCM опи­ра­ют­ся на от­ре­зок MN, зна­чит, точки M, C, N и A лежат на одной окруж­но­сти. Рас­смот­рим тре­уголь­ник  AMN, впи­сан­ный в окруж­ность. В нем Тре­уголь­ник  ACM также впи­сан в окруж­ность, по­это­му Таким об­ра­зом,

Ответ: б)

а)  Пусть тогда Углы и вер­ти­каль­ные и равны, тогда и Тогда Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки ABM и BCN равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, сле­до­ва­тель­но, BM  =  BN.

б)  Точки M, C, N и A лежат на одной окруж­но­сти. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AMN, впи­сан­ный в окруж­ность, в ко­то­ром

Рас­смот­рим тре­уголь­ник ACM, ко­то­рый также впи­сан в окруж­ность, в ко­то­ром

Таким об­ра­зом,

Ответ: б)

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние пунк­та б) Реян Те­мир­ка­я­е­вой (Сим­фе­ро­поль).

Тра­пе­ция ABCN  — рав­но­бед­рен­ная, так как ос­но­ва­ния BC и AN па­рал­лель­ны, а бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CN равны, cле­до­ва­тель­но, Пусть тогда Пусть тогда так как тре­уголь­ни­ки MAB и NBC равны. Таким об­ра­зом, и Так как то сле­до­ва­тель­но, и

Най­дем ко­си­нус угла:

Вы­чис­лим:

Сле­до­ва­тель­но,