а)  Да, при A  =  221 имеем S  =  5 и A · S  =  1105.

б)  Нет. Числа A и S дают оди­на­ко­вые остат­ки от де­ле­ния на 3. Если это оста­ток 0, то и A · S даст оста­ток 0, а если оста­ток 1 или 2, то A · S даст оста­ток 1. Но число 1106 дает оста­ток 2.

в)  Число 1504  =  47 · 2⁵. Ясно, что если A · S  =  1504, то A крат­но 47 (по­сколь­ку S < 47). Пе­ре­би­рая де­ли­те­ли − числа 1504, крат­ные 47, по­лу­ча­ем 188, 376, 752. Все они не под­хо­дят. Имеем:

− число 1505 дает оста­ток 2 при де­ле­нии на 3, такие числа не го­дят­ся,

− число 1506 крат­но 3, но не крат­но 9, что тоже не­воз­мож­но  — числа A и S либо оба де­лят­ся на 3, либо оба не де­лят­ся,

число 1507  =  137 · 11, по­это­му оно под­хо­дит.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  1507.

a)  Сумма цифр числа 221 равна 5. Таким об­ра­зом, про­из­ве­де­ние этого числа и суммы его цифр равно 1105.

б)  За­ме­тим, что сумма цифр числа имеет такой же оста­ток при де­ле­нии на 3, как и само число. Сле­до­ва­тель­но, если число A де­лит­ся на 3 , то де­лит­ся на 3. Если число A не де­лит­ся на 3 , то даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 3. Число 1106 даёт оста­ток 2 при де­ле­нии на 3, зна­чит, оно не может быть равно про­из­ве­де­нию

в)  За­ме­тим, что сумма цифр числа имеет такой же оста­ток при де­ле­нии на 9 , как и само число. Сле­до­ва­тель­но, даёт такой же оста­ток при де­ле­нии на 9, как и Пусть где Тогда

Будем по­сле­до­ва­тель­но рас­смат­ри­вать числа, боль­шие 3978, для ко­то­рых оста­ток от де­ле­ния на 9 равен 0; 1; 4 или 7.

Число 3979 даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 9. Это число рас­кла­ды­ва­ет­ся в про­из­ве­де­ние про­стых мно­жи­те­лей сле­ду­ю­щим об­ра­зом: а, зна­чит, его можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния трёхзнач­но­го числа на какое-то дру­гое число толь­ко сле­ду­ю­щим спо­со­бом:

В этом слу­чае пер­вый мно­жи­тель не равен сумме цифр вто­ро­го мно­жи­те­ля. Число 3982 даёт оста­ток 4 при де­ле­нии на 9. Это число рас­кла­ды­ва­ет­ся в про­из­ве­де­ние про­стых мно­жи­те­лей сле­ду­ю­щим об­ра­зом: а зна­чит, его можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния трёхзнач­но­го числа на какое-то дру­гое число сле­ду­ю­щи­ми спо­со­ба­ми:

Сумма цифр трёхзнач­но­го числа равна 11. Сле­до­ва­тель­но, для этого числа

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние про­из­ве­де­ния боль­шее 3978, равно 3982.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  3982.

a)  Сумма цифр числа 151 равна 7. Таким об­ра­зом, про­из­ве­де­ние этого числа и суммы его цифр равно 1057.

б)  За­ме­тим, что сумма цифр числа имеет такой же оста­ток при де­ле­нии на 3, как и само число. Сле­до­ва­тель­но, если число A де­лит­ся на 3, то де­лит­ся на 3. Если число A не де­лит­ся на 3, то даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 3. Число 1058 даёт оста­ток 2 при де­ле­нии на 3, зна­чит, оно не может быть равно про­из­ве­де­нию

в)  За­ме­тим, что сумма цифр числа имеет такой же оста­ток при де­ле­нии на 9, как и само число. Сле­до­ва­тель­но, даёт такой же оста­ток при де­ле­нии на 9, как и Пусть где Тогда

Будем по­сле­до­ва­тель­но рас­смат­ри­вать числа, боль­шие 864, для ко­то­рых оста­ток от де­ле­ния на 9 равен 0 ; 1 ; 4 или 7.

Число 865 даёт оста­ток 1 при де­ле­нии на 9. Это число рас­кла­ды­ва­ет­ся в про­из­ве­де­ние про­стых мно­жи­те­лей сле­ду­ю­щим об­ра­зом: а зна­чит, его можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния трёхзнач­но­го числа на какое-то дру­гое число толь­ко сле­ду­ю­щим спо­со­бом:

В этом слу­чае пер­вый мно­жи­тель не равен сумме цифр вто­ро­го мно­жи­те­ля. Число 868 даёт оста­ток 4 при де­ле­нии на 9. Это число рас­кла­ды­ва­ет­ся в про­из­ве­де­ние про­стых мно­жи­те­лей сле­ду­ю­щим об­ра­зом: а, зна­чит, его можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния трёхзнач­но­го числа на какое-то дру­гое число сле­ду­ю­щи­ми спо­со­ба­ми:

Сумма цифр трёхзнач­но­го числа равна 7. Сле­до­ва­тель­но, для этого числа

Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние про­из­ве­де­ния боль­шее 864, равно 868.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  868.