а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки NAB и BCM. По усло­вию AN  =  AD  =  BC, AB  =  CD  =  CM. В рав­но­бо­ких тра­пе­ци­ях NABC и ABCM равны углы A и C, а зна­чит, равны и углы NAB и BCM. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки NAB и BCM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Сле­до­ва­тель­но, равны со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны BN и BM этих тре­уголь­ни­ков. Это и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что ABCM и NABC  — рав­но­бо­кие тра­пе­ции, по­это­му равны их диа­го­на­ли. Тогда Имеем:

От­сю­да

Те­перь при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MBN:

а тогда

Ответ:

При­ме­ча­ние.

Рас­смат­ри­вая ана­ло­гич­ную за­да­чу 563667, мы при­ве­ли и дру­гое ре­ше­ние.

а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки BCN и BAM. По усло­вию AM  =  AD  =  BC, AB  =  CD  =  CN. В рав­но­бо­ких тра­пе­ци­ях NABC и ABCM равны углы A и C, а зна­чит, равны и углы MAB и BCN. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки BNC и BAM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними, по­это­му равны и их со­от­вет­ствен­ные сто­ро­ны BN и BM.

б)  За­ме­тим, что ABCM и NABC  — рав­но­бо­кие тра­пе­ции, тогда равны их диа­го­на­ли, по­это­му AC  =  BM  =  BN  =  7. Имеем:

Тогда

\sqrt{x} Те­перь при­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MBN:

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние Кон­стан­ти­на Че­ку­ла­е­ва.

Про­ведём бис­сек­три­сы, ме­ди­а­ны и вы­со­ты AT и CP в рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ках MAD и DCN. Тогда углы ATC и APC в четырёхуголь­ни­ке ATPC пря­мые и опи­ра­ют­ся на одну сто­ро­ну AC, зна­чит, этот че­ты­рех­уголь­ник впи­сан­ный. Углы BAD и CDP равны, по­это­му от­ку­да

При­ме­ним тео­ре­му си­ну­сов к тре­уголь­ни­ку TCP, по­лу­чим Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка TCP, также опи­са­на во­круг четырёхуголь­ни­ка TACP, а угол ATC  — пря­мой и впи­сан­ный в эту окруж­ность. Сле­до­ва­тель­но, он опи­ра­ет­ся на диа­метр AC, рав­ный 7, по усло­вию. Тогда а это сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке MDN. Таким об­ра­зом,