Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решим задачу графо-аналитическим способом. Изобразим решение неравенств данной системы в системе координат xOy. Для этого при 
построим графики 
и 
Первый график — парабола 
и второй — прямая 
разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены оранжевым) неравенство выполняется.
Графиком уравнения 
является пучок прямых 
проходящих через точку 
Исходная система имеет единственное решение, если прямая 
имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях.
1. Если прямая проходит через 
2. Если прямая касается параболы (выделено красным). Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение 
должно иметь единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант:
Дискриминант обращается в нуль при 
или 
При 
абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При абсцисса точки касания 
Таким образом, исходная система:
— при 
не имеет решений;
— при имеет одно решение;
— при 
имеет бесконечное число решений;
— при 
имеет одно решение;
— при 
имеет бесконечное число решений.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Решим задачу графо-аналитическим способом. Изобразим решение неравенств данной системы в системе координат xOy. Для этого при построим графики и Первый график — парабола и второй — прямая разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены оранжевым) неравенство выполняется.
Графиком уравнения является пучок прямых проходящих через точку
Исходная система имеет единственное решение, если прямая имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях.
1. Если прямая проходит через
2. Если прямая касается параболы (выделено красным). Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение должно иметь единственное решение. Запишем его в виде и найдем дискриминант:
Дискриминант обращается в нуль при или При абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При абсцисса точки касания
Таким образом, исходная система:
— при не имеет решений;
— при имеет одно решение;
— при имеет бесконечное число решений;
— при имеет одно решение;
— при имеет бесконечное число решений.
Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение необходимо, чтобы исходная система имела одно или более решений. Таким образом, 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет хотя бы одно решение.
Парабола 
и прямая 
разбивают полуплоскость 
плоскости xOy на четыре области, в каждой из которых неравенство 
или верно, или неверно. Подставим координаты пробных точек в неравенство:
Точка 
—
Точка 
—
Точка 
—
Точка 
—
Множество точек, координаты которых являются решением системы
выделено оранжевым.
Преобразуем уравнение исходной системы:
Уравнение 
задаёт пучок прямых, проходящих через 
При 
прямая является касательной к параболе в точке 
(при достигается равенство значений функций и равенство значений производных).
При 
прямая не имеет общих точек с множеством решений системы
значит, исходная система не имеет решений. При 
найдется хотя одна общая точка, значит, и исходная система имеет хотя бы одно решение.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх