В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 5, BC = 3 и AA1 = 4.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость 
делит ребро A1B1.
Приведем решение при помощи векторов. Введём базис 
Длины базисных векторов известны: 5, 3 и 4 соответственно.
а) Достаточно показать, что вектор 
перпендикулярен вектору 
Попарные произведения базисных векторов равны нулю, поэтому выражение принимает вид:
б) Достаточно найти точку T на ребре A1B1 такую, что 
Получаем:
откуда
Значит, точка T делит ребро A1B1 в отношении 9 : 16, считая от точки A1.
Приведем решение методом координат (Ирина Шраго).
а) Введем систему координат с центром в точке B, направив ось Ox вдоль ребра BA, ось Oy вдоль ребра BC и ось Oz вдоль ребра BB1. В этой системе координат: A(5; 0; 0); C1(0; 3; 4); D1(5; 3; 4); M(2,5; 1,5; 2), 
Запишем уравнение плоскости α, проходящей через точку M перпендикулярно прямой AC1:
Координаты точки D1 удовлетворяют уравнению плоскости α: 
следовательно, точка D1 принадлежит плоскости.
б) Пусть плоскость α пересекает ребро A1B1 в точке T(t; 0; 4). Тогда 
откуда 
Следовательно,
Следовательно, плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 16 : 9, считая от вершины B1, или в отношении 9 : 16, считая от вершины A1.
Примечание.
Сечения параллелепипеда плоскостью, перпендикулярной его диагонали, может быть треугольником, четырех-, пяти- или шестиугольником, поэтому построить сечение можно только решив пункт а). Далее заметим, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии, поэтому наряду с точкой D1 сечение содержит и центрально симметричную ей точку B. Осталось провести отрезки TB и TD1, а в противоположных гранях — параллельные им отрезки, проходящие через точки D1 и B соответственно (см. рис.)
Читателю будет полезно сравнить решение этой задачи с задачами 561194 и 556601.
Приведём другое решение.
б) Чтобы решить задачу, достаточно построить прямую, по которой плоскость сечения пересекает верхнее основание параллелепипеда. Для этого в прямоугольнике AA1C1C через точку M проведем перпендикулярно диагонали AC1 прямую MK. Далее, в плоскости верхнего основания параллелепипеда через точку K перпендикулярно диагонали A1C1 проведем прямую KT. Прямая A1C1 является проекцией прямой AC1 на плоскость верхнего основания, поэтому прямая KT также перпендикулярна прямой AC1 в силу теоремы, обратной теореме о трех перпендикулярах. Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной прямой, перпендикулярна этой прямой. Поэтому плоскость, проходящая через точки M, T и K, есть плоскость α. Таким образом, плоскость сечения пересекает верхнее основание по прямой TK.
Прямоугольные треугольники KMC1 и AA1C1 подобны, поэтому 
откуда
а потому 
В силу подобия прямоугольных треугольников TKA1 и C1B1A1 находим: 
откуда
а потому 
Таким образом,
Следовательно, плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 16 : 9, считая от вершины B1.
a) Покажем, что 
Найдем катеты прямоугольных треугольников TKA1 и A1KD1 по теореме Пифагора и сложим их длины:
Гипотенуза прямоугольного треугольника TA1D1 имеет ту же длину:
Таким образом, точки T, K и D1 лежат на одной прямой, а значит, плоскость сечения пересекает верхнее основание параллелепипеда по отрезку TD1, то есть содержит вершину D1. Это и требовалось доказать.
Ответ: б) в отношении 16 : 9, считая от вершины B1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 13, BC = 5 и AA1 = 12.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.
a) В треугольнике ADD1 имеем
В треугольнике AC1D1 стороны AD1 и C1D1 равны. Значит, этот треугольник равнобедренный, а его медиана D1M является его высотой. Следовательно, точка D1 лежит в плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой AC1, а такая плоскость единственная, и это плоскость α.
б) Обозначим точку пересечения плоскости α и прямой A1B1 через L. Поскольку плоскость α перпендикулярна прямой AC1, в треугольнике ALC1 медиана LM является высотой. Следовательно, AL = LC1.
Пусть 
тогда 
В прямоугольных треугольниках 
и C1B1L имеем
Таким образом, 
Ответ: 25 : 144.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB = 17, BC = 8 и AA1 = 15.
а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.
б) Найдите отношение, в котором плоскость α делит ребро A1B1.
a) В треугольнике ADD1 имеем
В треугольнике AC1D1 стороны AD1 и C1D1 равны. Значит, этот треугольник равнобедренный, а его медиана D1M является его высотой. Следовательно, точка D1 лежит в плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой AC1, а такая плоскость единственная, и это плоскость α.
б) Обозначим точку пересечения плоскости α и прямой A1B1 через L. Поскольку плоскость α перпендикулярна прямой AC1, в треугольнике ALC1 медиана LM является высотой. Следовательно, AL = LC1.
Пусть тогда 
В прямоугольных треугольниках и C1B1L имеем
Таким образом, 
Ответ: 64 : 225.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Наверх