Тип 17 № 637821 
Планиметрическая задача. Вписанные окружности и треугольники
i
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если 
и 
Решение. 
a) B четырёхугольнике AC1HB1 углы C1 и B1 прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы HB1C1 и HAC1 опираются на одну дугу, следовательно, они равны, а значит,
б) В прямоугольном треугольнике BB1A имеем
В прямоугольном треугольнике CC1A имеем
Получаем, что 
Треугольники ABC и AB1C1 имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда
Значит, 
Пусть точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, точка M — середина стороны BC. Тогда расстояние от точки O до стороны BC равно длине отрезка OM. Треугольник BOC равнобедренный. Следовательно,
В прямоугольном треугольнике OMC имеем
Ответ: б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б)
и 
