Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
система уравнений имеет ровно 2 решения.
Преобразуем первое уравнение системы:
Решая уравнение 
заключаем, что Гипербола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой и участков гиперболы 
лежащих не ниже прямой (выделено оранжевым)
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 2. Пусть при 
прямая 
проходит через точку D, при 
— через точку С. Подставим координаты точки D, получим:
Подставим координаты точки D, получим:
Найдём, при каких значениях a уравнение 
имеет один корень:
Дискриминант обращается в нуль при 
(соответствующая прямая выделена на рисунке синим) или 
(выделено зеленым). При 
или при 
прямая пересекает гиперболу в двух точках. Если 
то прямая и гипербола не имеют общих точек.
Таким образом, при 
прямая имеет с нижней ветвью гиперболы общую точку B(2; −3), при 
— общую точку A(−2; 5). Тогда исходная система:
— при 
имеет одно решение;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения;
— при 
— два решения;
— при 
— одно решение;
— при 
— два решения;
— при 
— три решения.
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых
Преобразуем первое уравнение системы:
Решая уравнение 
заключаем, что гипербола 
и прямая 
пересекаются в точках 
и 
Поэтому в системе координат xOy графиком полученной системы будет объединение прямой и участков гиперболы 
лежащих не ниже прямой (выделено оранжевым)
Графиком второго уравнения исходной системы является семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 3. Пусть при прямая 
проходит через точку D, при — через точку С. Подставим координаты точки D, получим:
Подставим координаты точки C, получим:
Найдём, при каких значениях a уравнение 
имеет один корень:
Дискриминант обращается в нуль при 
(соответствующая прямая выделена на рисунке синим) или 
(выделено зеленым). При или при прямая пересекает гиперболу в двух точках. Если то прямая и гипербола не имеют общих точек.
Таким образом, при прямая имеет с нижней ветвью гиперболы общую точку 
при — общую точку 
Тогда исходная система:
— при имеет одно решение;
— при — два решения;
— при — три решения;
— при — два решения;
— при — одно решение;
— при — два решения;
— при — три решения.
Таким образом, исходная система имеет ровно два решения при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх