Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Решим задачу графически. Определим, при каких значениях параметра графики Г1 и Г2 первого и второго уравнения соответственно имеют ровно две общие точки. Первое уравнение равносильно совокупности
Уравнение 
задает прямую 
Система
расположенную не выше прямой Абсциссы точек пересечения прямой 
и параболы 
найдем из уравнения
Ординаты точек пересечения y(0) = 8 и y(8) = 16. Координаты вершины параболы: xв = 3,5, yв = −4,25. График Г1 изображен на рисунке цветом охры.
Уравнение 
задает семейство прямых, проходящих через точку (−1; 0). Если a = 1, то прямая параллельна прямой Выясним, при каких значениях параметра прямая является касательной к параболе 
В этом случае должно иметь единственное решение уравнение
а потому дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю. Имеем:
Точка касания имеет абсциссу 
При a = −1 находим: x = 3, соответствующая прямая изображена красным цветом. При a = −17 абсцисса точка касания x = −5 < 0, то есть точка касания не лежит на графике Г1.
Из построения находим следующее.
При 
графики Г1 и Г2 пересекаются лишь в одной точке, лежащей во второй четверти на прямой
При 
(прямая изображена на графике красным цветом) имеются ровно две точки пересечения: одна лежит во второй четверти на прямой 
вторая лежит в четвертой четверти и является точкой касания с параболой.
При 
(прямая изображена лиловым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, обе из которых принадлежат параболе.
При 
графики имеют три точки пересечений, две из которых лежат на параболе, а третья лежит на прямой и расположена в первой четверти так, что ее абсцисса больше 8.
При 
(случай 
изображен зеленым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, одна из которых лежит на параболе, а вторая лежит на прямой и расположена в первой четверти так, что ее абсцисса лежит на отрезке [0; 8].
При 
у графиков Г1 и Г2 имеется лишь одна общая точка, она лежит во второй четверти на прямой
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно 2 различных решения.
Решим задачу графически. Определим, при каких значениях параметра графики Г1 и Г2 первого и второго уравнения соответственно имеют ровно две общие точки. Первое уравнение равносильно совокупности
Уравнение 
задает прямую 
Система
расположенную не выше прямой Абсциссы точек пересечения прямой 
и параболы 
найдем из уравнения
Ординаты точек пересечения суть y(0) = 2, y(7) = 9. Координаты вершины параболы: xв = 3, yв = −7. График Г1 изображен на рисунке цветом охры.
Уравнение задает семейство прямых, проходящих через точку (−1; 0). Если a = 1, то прямая параллельна прямой Выясним, при каких значениях параметра прямая является касательной к параболе 
В этом случае должно иметь единственное решение уравнение
Точка касания имеет абсциссу 
При a = −2 находим: x = 2, соответствующая прямая изображена красным цветом. При a = −14 абсцисса точки касания x = −4 < 0, то есть точка касания не лежит на графике Г1.
При 
графики Г1 и Г2 пересекаются лишь в одной точке, лежащей во второй четверти на прямой
При 
(прямая изображена на графике красным цветом) имеются ровно две точки пересечения: одна лежит во второй четверти на прямой 
вторая лежит в четвертой четверти и является точкой касания с параболой.
При (прямая изображена лиловым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, обе из которых принадлежат параболе.
При 
графики имеют три точки пересечения, две из которых лежат на параболе, а третья лежит на прямой и расположена в первой четверти так, что ее абсцисса больше 2.
При 
(случай 
изображен зеленым) графики Г1 и Г2 пересекаются ровно в двух точках, одна из которых лежит на параболе, а вторая лежит на прямой и расположена в первой четверти так, что ее абсцисса лежит на
При 
у графиков Г1 и Г2 имеется лишь одна общая точка, она лежит во второй четверти на прямой
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх