ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Варианты заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 643681 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений |x в квадрате минус 1| минус 2 x минус x в квадрате = |y в квадрате минус 1| минус 2 y минус y в квадрате , x плюс y = a конец системы .$

имеет больше двух решений.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы. Рассмотрим четыре случая.

1.  Если $x в квадрате минус 1 меньше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 меньше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$1 минус x в квадрате минус 2 x минус x в квадрате =1 минус y в квадрате минус 2 y минус y в квадрате равносильно y в квадрате минус x в квадрате плюс y минус x=0 равносильно левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс 1 правая круглая скобка =0.$ $1 минус x в квадрате минус 2 x минус x в квадрате =1 минус y в квадрате минус 2 y минус y в квадрате равносильно$
$равносильно y в квадрате минус x в квадрате плюс y минус x=0 равносильно левая круглая скобка y минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y плюс 1 правая круглая скобка =0.$

Полученное уравнение задаёт две прямых: $y=x$ и $y= минус x минус 1.$

2.  Если $x в квадрате минус 1 меньше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 больше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$1 минус x в квадрате минус 2 x минус x в квадрате =y в квадрате минус 1 минус 2 y минус y в квадрате равносильно y=x в квадрате плюс x минус 1 .$

Полученное уравнение задаёт параболу $y=x в квадрате плюс x минус 1.$

3.  Если $x в квадрате минус 1 больше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 меньше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате минус 1 минус 2 x минус x в квадрате =1 минус y в квадрате минус 2 y минус y в квадрате равносильно x=y в квадрате плюс y минус 1 .$

Полученное уравнение задаёт параболу $x=y в квадрате плюс y минус 1.$

4.  Если $x в квадрате минус 1 больше или равно 0$ и $y в квадрате минус 1 больше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате минус 1 минус 2 x минус x в квадрате =y в квадрате минус 1 минус 2 y минус y в квадрате равносильно y=x .$

Полученное уравнение задаёт прямую $y=x.$ Точки A(−1; 0), B(0; −1) и C(−1; −1) являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых $x = минус 1$ и/или $y = минус 1,$ поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением $y=x,$ отрезка AB прямой $x плюс y= минус 1,$ дуги $\omega_1$ параболы $y=x в квадрате плюс x минус 1$ с концами в точках B и C и дуги $\omega_2$ параболы $x=y в квадрате плюс y минус 1$ с концами в точках A и C (см. рис.).

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямой AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при $a= минус 2$ прямая m касается парабол $x=y в квадрате плюс y минус 1$ и $y=x в квадрате плюс x минус 1$ в точке C.

При $a = минус 1$ прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При $a = минус 2$ прямая m касается дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При $минус 2 меньше a меньше минус 1$ прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг $\omega_1$ и $\omega_2$ в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При $a меньше минус 2$ или $a больше минус 1$ прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги $\omega_1$ и $\omega_2$ и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет больше двух решений при $минус 2 меньше a \leqslant минус 1.$

Ответ: $минус 2 меньше a \leqslant минус 1.$

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Утверждение «при a  =  −2 прямая m, касается парабол», используемое авторами в официальных критериях, далеко не очевидно и нуждается в обосновании. Можно предложить такие варианты его обоснования.

1.  Найти касательную к одной из кривых в этой точке и показать, что она совпадает с прямой m. В силу симметрии всего рисунка относительно y= x для второй кривой m так же будет касательной.

2.  Можно использовать свойство: касательная к параболе с вертикальной осью симметрии пересекает горизонтальный отрезок, соединяющий вершину и точку на вертикальной прямой, проходящей через точку касания, в его середине. Достаточно показать, что прямая $y = минус x минус 2$ отвечает этому требованию для обеих парабол.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки $a= минус 1$	3
При всех значения a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Аналоги к заданию № 643681: 643687 Все

Источники:

Задания 17 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.07.2023. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 601 (часть 2).

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь

Тип 18 № 643687 Добавить в вариант

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс x плюс |x в квадрате минус x минус 2 | = y в квадрате плюс y плюс |y в квадрате минус y минус 2|, x плюс y = a конец системы .$

имеет больше двух решений.

Решение.

1.  Если $x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0$ и $y в квадрате минус y минус 2 меньше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате плюс x минус x в квадрате плюс x плюс 2 =y в квадрате плюс y минус y в квадрате плюс y плюс 2 равносильно x = y .$

Назовем l прямую, задаваемую полученным уравнением.

2.  Если $x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0$ и $y в квадрате минус y минус 2 больше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате плюс x минус x в квадрате плюс x плюс 2 = y в квадрате плюс y плюс y в квадрате минус y минус 2 равносильно x=y в квадрате минус 2 .$

Полученное уравнение задаёт параболу $x = y в квадрате минус 2.$

3.  Если $x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 0$ и $y в квадрате минус y минус 2 меньше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате плюс x плюс x в квадрате минус x минус 2 = y в квадрате плюс y минус y в квадрате плюс y плюс 2 равносильно y=x в квадрате минус 2.$

Полученное уравнение задаёт параболу $y=x в квадрате минус 2.$

4.  Если $x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 0$ и $y в квадрате минус y минус 2 больше или равно 0,$ то получаем уравнение:

$x в квадрате плюс x плюс x в квадрате минус x минус 2=y в квадрате плюс y плюс y в квадрате минус y минус 2 равносильно x в квадрате минус y в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =0 .$ $x в квадрате плюс x плюс x в квадрате минус x минус 2=y в квадрате плюс y плюс y в квадрате минус y минус 2 равносильно$
$равносильно x в квадрате минус y в квадрате =0 равносильно левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =0 .$

Полученное уравнение задает две прямые: $y=x$ и $y= минус x.$

Точки A(−2; 2), B(2; −2) и C(−1; −1) являются точками пересечения этих парабол с этих парабол и прямых, они лежат на прямых $y = 2,$ $x=2$ или $x= минус 1$ и $y= минус 1$ соответственно, поэтому искомое множество состоит из прямой l, лучей l₁ и l₂, лежащих на прямой $y= минус x,$ с началами в точках A и B соответственно, дуги ω₁ параболы $y = x в квадрате минус 2$ с концами в точках A и C и дуги ω₂ параболы $x = y в квадрате минус 2$ с концами в точках B и C (см. рис.).

Второе уравнение системы задаёт прямую, параллельную прямой AB или совпадающую с ней; назовем ее m. Заметим, что при $a = минус 2,25$ прямая m касается парабол $y = x в квадрате минус 2$ и $x = y в квадрате минус 2$ в точках, не лежащих на дугах ω₁ и ω₂, поэтому прямая m имеет с каждой из дуг ω₁ и ω₂ не больше одной общей точки.

При $a=0$ прямая m содержит лучи l₁ и l₂ то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При $a= минус 2$ прямая m пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в точке C, пересекает прямую l в точке C и не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂, а потому исходная система имеет единственное решение.

При $минус 2 меньше a меньше 0$ прямая m не имеет общих точек с лучами l₁ и l₂, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, пересекает каждую из дуг ω₁ и ω₂ в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет ровно три решения.

При $a меньше минус 2$ или $a больше 0$ прямая m пересекает прямую l в одной точке и не имеет общих точек с дугами ω₁ и ω₂ и лучами l₁ и l₂, то есть исходная система имеет единственное решение. Значит, исходная система имеет больше двух решений при $минус 2 меньше a меньше или равно 0.$

Ответ: $минус 2 меньше a меньше или равно 0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки a  =  0	3
При всех значениях a верно найдено количество решений системы в одном из четырёх случаев, возникающих при раскрытии модулей ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения	2
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения дуг парабол и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Аналоги к заданию № 643681: 643687 Все

Источники:

Задания 17 ЕГЭ–2023;

ЕГЭ по математике 01.07.2023. Основная волна, резервный день. Санкт-Петербург. Вариант 603 (часть 2).

Решение · Критерии · Видеокурс · Помощь