Тип 14 № 654933 
Стереометрическая задача. Объёмы многогранников
i
Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C. Ребро SA является высотой пирамиды. Точки E и F лежат на рёбрах AC и BS соответственно так, что 
Плоскость α проходит через точки E и F перпендикулярно прямой AC и пересекает рёбра AB и CS в точках H и M соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является прямоугольником.
б) Найдите объём многогранника BCMEHF, если объём пирамиды SABC равен 125.
Решение. 
a) Прямые EH и BC параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой AC. Поэтому треугольники AEH и ACB подобны по двум углам, 
Плоскость α проходит через прямую EH, параллельную прямой BC. Поэтому линия пересечения плоскостей α и BSC параллельна прямой BC. Следовательно, треугольники BSC и FSM подобны по двум углам, 
Таким образом, отрезки FM и EH равны и лежат на параллельных прямых. Следовательно, EHFM — параллелограмм. Прямая EH перпендикулярна прямой AC и лежит в плоскости ABC, перпендикулярной плоскости CSA, поэтому прямая EH перпендикулярна плоскости CSA, значит, отрезок ME перпендикулярен отрезку EH.
Таким образом, в параллелограмме EHFM угол MEH прямой, поэтому параллелограмм является прямоугольником.
б) Плоскость α делит пирамиду на два пятигранника SFMAHE и BCMEHF. Пятигранник SFMAHE можно разбить на пирамиду SFMP и призму FMPHEA, где P — точка пересечения плоскости FMP, параллельной плоскости ABC, с ребром SA. Обозначим BC = a, AC = b, SA = h. Тогда:
Следовательно, объём пятигранника SFMAHE:
Объём пятигранника BCMEHF равен разности объёмов пирамиды SABC и пятигранника SFMAHE:
Ответ: б) 112.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 112.
Плоскость α проходит через точки E и F перпендикулярно прямой AC и пересекает рёбра AB и CS в точках H и M соответственно.
