а)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла ANB, по­сколь­ку она рав­но­уда­ле­на от AN и BN. Пусть AB пе­ре­се­ка­ет­ся с NO в точке M. Тре­уголь­ни­ки ANM и BNM равны: от­рез­ки AN и BN равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных к окруж­но­сти, про­ве­ден­ных их одной точки, углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку NM  — бис­сек­три­са угла ANB, MN  — общая сто­ро­на. Сле­до­ва­тель­но, углы AMN и BMN равны. Эти углы также яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми, по­это­му они равны по 90°.

Пря­мые NO и AB вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках BMO и NBO угол BOM общий, по­это­му углы MBO и BNO равны. Углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку NM  — бис­сек­три­са угла ANB. Сле­до­ва­тель­но, угол MBO в два раза мень­ше угла ANB, тогда

б)  Тре­уголь­ни­ки ABC и MBO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, зна­чит, MO  =  ⁠7 и MB  =  ⁠18. Вы­со­та, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, по­это­му от­ку­да

Ответ: б)  

а)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла ANB, по­то­му что эта точка рав­но­уда­ле­на от пря­мых AN и BN. Пусть пря­мая AB пе­ре­се­ка­ет пря­мую NO в точке M. От­рез­ки AN и BN равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку луч NM  — бис­сек­три­са угла ANB, тогда тре­уголь­ни­ки ANM и BNM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Таким об­ра­зом, углы AMN и BMN  — равны и яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми, по­это­му они равны 90°.

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая NO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. Хорда BC  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му угол BAC  — пря­мой, то есть пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. От­сю­да сле­ду­ет, что пря­мая AC па­рал­лель­на пря­мой NO  — бис­сек­три­се угла ANB.

б)  Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки ABC и MBO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, тогда и Про­ек­ция ка­те­та на ги­по­те­ну­зу равна от­но­ше­нию квад­ра­та длины этого ка­те­та к длине ги­по­те­ну­зе, по­это­му от­ку­да

Ответ: б)  33,8.

а)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла ANB, так как она рав­но­уда­ле­на от пря­мых AN и BN. Пусть от­ре­зок AB пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой NO в точке M. Тре­уголь­ни­ки ANM и BNM равны: от­рез­ки AN и BN равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных их одной точки, углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку от­ре­зок NM  — бис­сек­три­са угла ANB, и сто­ро­на MN общая. Сле­до­ва­тель­но, углы AMN и BMN равны, но они также яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми, по­это­му они равны по 90°. По­то­му пря­мая NO пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку AB. В пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках BMO и NBO угол BOM  — общий, по­это­му углы MBO и BNO равны. Углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку от­ре­зок NM  — бис­сек­три­са угла ANB. Тогда угол MBO в два раза мень­ше угла ANB, то есть

б)  Тре­уголь­ни­ки ABC и MBO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, по­то­му MO  =  ⁠6 и MB  =  ⁠26. Вы­со­та, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, по­это­му от­ку­да на­хо­дим:

Ответ: б) 

а)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла ANB, по­то­му что эта точка рав­но­уда­ле­на от пря­мых AN и BN. Пусть пря­мая AB пе­ре­се­ка­ет пря­мую NO в точке M. От­рез­ки AN и BN равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку луч NM  — бис­сек­три­са угла ANB, тогда тре­уголь­ни­ки ANM и BNM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Таким об­ра­зом, углы AMN и BMN  — равны и яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми, по­это­му они равны 90°.

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая NO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. Хорда BC  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му угол BAC  — пря­мой, то есть пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. От­сю­да сле­ду­ет, что пря­мая AC па­рал­лель­на пря­мой NO  — бис­сек­три­се угла ANB.

б)  Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки ABC и MBO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, тогда и Про­ек­ция ка­те­та на ги­по­те­ну­зу равна от­но­ше­нию квад­ра­та длины этого ка­те­та к длине ги­по­те­ну­зе, по­это­му от­ку­да

Ответ: б) 

а)  Точка O лежит на бис­сек­три­се угла ANB, по­то­му что эта точка рав­но­уда­ле­на от пря­мых AN и BN. Пусть пря­мая AB пе­ре­се­ка­ет пря­мую NO в точке M. От­рез­ки AN и BN равны как от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, углы ANM и BNM равны, по­сколь­ку луч NM  — бис­сек­три­са угла ANB, тогда тре­уголь­ни­ки ANM и BNM равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Таким об­ра­зом, углы AMN и BMN  — равны и яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми, по­это­му они равны 90°.

Сле­до­ва­тель­но, пря­мая NO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. Хорда BC  — диа­метр окруж­но­сти, по­это­му угол BAC  — пря­мой, то есть пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AB. От­сю­да сле­ду­ет, что пря­мая AC па­рал­лель­на пря­мой NO  — бис­сек­три­се угла ANB.

б)  Для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Тре­уголь­ни­ки ABC и MBO по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2, тогда и Про­ек­ция ка­те­та на ги­по­те­ну­зу равна от­но­ше­нию квад­ра­та длины этого ка­те­та к длине ги­по­те­ну­зе, по­это­му от­ку­да

Ответ: б)