Из точки A к окружности проведены касательная AM (M — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках
а) Докажите, что угол AMK равен 60°.
б) Найдите площадь треугольника AMK, если AL : LK = 4 : 3 и радиус окружности
значит, 
Однако радиус OM перпендикулярен касательной AM, поэтому 
Следовательно, 
По теореме косинусов в треугольнике AMK:
Из точки M к окружности проведены касательная MB (B — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках K и A, причем точка K лежит между M и A, а угол ABM — острый. Расстояние от центра окружности до хорды AB равно половине радиуса окружности.
а) Докажите, что угол MBA равен 60°.
б) Найдите площадь треугольника AMB, если MA = 7MK и радиус окружности 
значит, 
Радиус OB перпендикулярен касательной MB, поэтому 
Следовательно, 
По теореме косинусов в треугольнике MBA:
причем 
Для удобства вычислений рассмотрим треугольник 
подобный треугольнику ABC c коэффициентом подобия 
По теореме косинусов 
Но тогда 
а значит, угол A'M'B' и равный ему угол AMB — тупые. Мы исправили ошибку в условии.