а)  Так как A₁E : EA  =  3 : 1 и AA₁  =  16, по­лу­ча­ем, что A₁E  =  12 и EA  =  4. Так как B₁F : FB  =  3 : 5 и BB₁  =  16, по­лу­ча­ем, что B₁F  =  6 и FB  =  10. Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные плос­ко­сти DAA₁ и CBB₁ по па­рал­лель­ным пря­мым, по­это­му она пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ в такой точке T, что пря­мая FT па­рал­лель­на пря­мой ED₁. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки EA₁D₁ и FB₁T по­доб­ны, а по­сколь­ку EA₁  =  A₁D₁  =  12, по­лу­ча­ем, что и FB₁  =  B₁T  =  6. Зна­чит, TC₁  =  6 и B₁T : TC₁  =  1 : 1.

б)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр A₁H из точки A₁ на пря­мую EF пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей EFD₁ и AA₁B₁. Угол A₁HD₁ будет ис­ко­мым. Най­дем A₁H. Для этого про­ве­дем в тра­пе­ции EA₁B₁F вы­со­ту (из ре­зуль­та­тов пунк­та а) сле­ду­ет, что K  — се­ре­ди­на EA₁). Те­перь, вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка EFA₁, по­лу­чим A₁H · EF  =  A₁E · FK, то есть

Тогда тан­генс ис­ко­мо­го угла равен

Ответ: б)

а)  Так как A₁E : EA  =  6 : 1 и AA₁  =  14, по­лу­ча­ем, что A₁E  =  12 и EA  =  2. Так как B₁F : FB  =  3 : 4 и BB₁  =  14, по­лу­ча­ем, что B₁F  =  6 и FB  =  8. Плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные плос­ко­сти DAA₁ и CBB₁ по па­рал­лель­ным пря­мым, по­это­му она пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ в такой точке T, что пря­мая FT па­рал­лель­на пря­мой ED₁. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки EA₁D₁ и FB₁T по­доб­ны, а по­сколь­ку EA₁  =  A₁D₁  =  12, по­лу­ча­ем, что и FB₁  =  B₁T  =  6. Зна­чит, TC₁  =  6 и B₁T : TC₁  =  1 : 1.

б)  Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр A₁H из точки A₁ на пря­мую EF пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей EFD₁ и AA₁B₁. Угол A₁HD₁ будет ис­ко­мым. Най­дем A₁H. Для этого про­ве­дем в тра­пе­ции EA₁B₁F вы­со­ту (из ре­зуль­та­тов пунк­та а) сле­ду­ет, что K  — се­ре­ди­на EA₁). Те­перь, вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка EFA₁, по­лу­чим A₁H · EF  =  A₁E · FK, то есть

Тогда тан­генс ис­ко­мо­го угла равен

Ответ: б)