а)  Да. Пусть было 13 детей и 13 ат­трак­ци­о­нов, 10 детей по­тра­ти­ли по 30 руб­лей, а 3 ре­бен­ка по­тра­ти­ли по 160 руб­лей. Оче­вид­но, что по­тра­чен­ные 780 руб­лей можно рас­пре­де­лить так, чтобы каж­дый из 13 ат­трак­ци­о­нов за­ра­бо­тал ровно 60 руб­лей.

б)  Пусть было n детей и n ат­трак­ци­о­нов, каж­дый ат­трак­ци­он за­ра­бо­тал руб­лей, a детей ис­тра­ти­ли по 30 руб­лей и детей ис­тра­ти­ли по 160 руб­лей. Тогда а зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, n де­лит­ся на 13 (по­сколь­ку если то а если то что не­воз­мож­но по усло­вию), по­это­му 13 ат­трак­ци­о­нов могло быть, при­мер при­ве­ден в преды­ду­щем пунк­те.

в)  Пусть было n детей и n ат­трак­ци­о­нов, a детей ис­тра­ти­ли по 30 руб­лей и детей ис­тра­ти­ли по 160 руб­лей. Тогда дети ис­тра­ти­ли руб. С дру­гой сто­ро­ны, ат­трак­ци­о­ны вы­ру­чи­ли не мень­ше чем

Сум­мар­ная вы­руч­ка ат­трак­ци­о­нов равна сумме денег, по­тра­чен­ных детьми, по­это­му по­лу­ча­ем, что

Зна­че­ние под­хо­дит. В самом деле, из не­ра­вен­ства при по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, тогда а по­то­му то есть по­тра­чен­ная сумма денег равна Это число может быть по­лу­че­но, на­при­мер, как

Есть и дру­гие ва­ри­ан­ты.

Ответ: а)  да; б)  13; в)  32.

Пусть a детей за­пла­ти­ли по 30 руб­лей и b по 140 руб­лей, тогда

а)  Долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство от­ку­да Это воз­мож­но, на­при­мер, при и Ясно, что рас­пре­де­лить би­ле­ты таким об­ра­зом, чтобы каж­дый ат­трак­ци­он ис­поль­зо­вал­ся 8 раз, можно  — ко­ли­че­ство би­ле­тов схо­дит­ся, а любой ре­бе­нок может по­се­тить любой ат­трак­ци­он не­од­но­крат­но, так что про­сто купим 88 би­ле­тов (по 8 на каж­дый ат­трак­ци­он) и раз­да­дим 6 детям по 3 би­ле­та и 5 детям по 14 би­ле­тов.

б)  Пусть вы­руч­ка каж­до­го ат­трак­ци­о­на со­ста­ви­ла 10x руб­лей (то есть на каж­дый ат­трак­ци­он про­да­ли x би­ле­тов). Тогда

Если крат­но 11, то и пра­вая часть боль­ше левой, что не­воз­мож­но. Зна­чит, крат­но 11 и по­то­му При­мер, когда при­ве­ден в пунк­те а).

в)  За­ме­тим, что n ат­трак­ци­о­нов с раз­ной вы­руч­кой за­ра­бо­та­ют как ми­ни­мум

При этом дети по­тра­тят руб­лей, от­ку­да

При это верно, а при по­лу­ча­ем Зна­чит, наи­боль­шее воз­мож­ное n это 28.

Для та­ко­го n на ат­трак­ци­о­ны про­да­но ми­ни­мум би­ле­тов. Если взять 27 детей, ку­пив­ших по 14 би­ле­тов и 1 ре­бен­ка, ку­пив­ше­го 3 би­ле­та, то число куп­лен­ных би­ле­тов ока­жет­ся рав­ным Зна­чит, можно взять имен­но такой набор детей, а на ат­трак­ци­о­ны про­дать би­ле­тов и ко­ли­че­ство би­ле­тов сой­дет­ся. Как и в пунк­те а), будем про­да­вать их детям в нуж­ном ко­ли­че­стве, сле­дить за тем, чтобы никто не по­се­щал ат­трак­ци­он два­жды, не обя­за­тель­но.

Ответ: а)  да; б)  11; в)  28.