Тип 14 № 681296 
Стереометрическая задача. Сечения призм
i
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны, на ребре AA1 отмечена точка M. Известно, что AM = 3MA1. Через точки M и C1 провели плоскость α перпендикулярно грани ABB1A1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 пополам.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α равна 
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 отметили точки M и K на ребрах AA1 и A1B1 соответственно. Известно, что AM = 5MA1, A1K = KB1. Через точки M и K провели плоскость α перпендикулярно плоскости ABB1.
а) Докажите, что плоскость α проходит через вершину C1.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, если все ребра призмы равны 12.
а) Заметим, что отрезок KC1 является медианой правильного треугольника A1B1C1, а потому является и высотой этого треугольника. Призма ABCA1B1C1 — прямая, поэтому ее боковые ребра являются высотами призмы. Следовательно, отрезок KC1 перпендикулярен ребру AA1. Таким образом, плоскость MKC1 перпендикулярна плоскости ABB1A1.
б) В прямоугольном треугольнике MA1K по теореме Пифагора получаем:
Высота KC1 в правильном треугольнике A1B1C1 равна 
Поскольку плоскость MKC1 перпендикулярна плоскости ABB1A1, прямая KC1 перпендикулярна прямой MK, а значит, треугольник MKC1 прямоугольный. Площадь искомого сечения равна
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Пусть AA1 = a, AB = b. Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Плоскость AMB совпадает с плоскостью AA1B. Найдем уравнение этой плоскости. Она проходит через ось аппликат, а потому уравнение следует искать в виде 
Подставляя координаты точки B, находим:
Значит, уравнение плоскости имеет вид 
то есть 
Нормаль этой плоскости — вектор 
Плоскость α перпендикулярна к плоскости AA1B, а потому нормаль 
к плоскости α перпендикулярна вектору 
Подставляя координаты точек M и К в уравнение 
плоскости α и записывая условие перпендикулярности нормалей 
в координатах, получаем систему:
Значит, уравнение плоскости α имеет вид
то есть 
Координаты точки C1 удовлетворяют найденному уравнению:
а значит, точка C1 лежит в плоскости α.
б) По условию a = b = 12. Треугольник C1KM — искомое сечение. В выбранной системе координат находим:
Площадь треугольника, построенного на векторах, равна половине модуля их векторного произведения. Последовательно получаем:
Модуль этого произведения равен
а искомая площадь равна 
Ответ: б)
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 4.
