Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид 
Раскроем модули:
Построим график функции t (см. рис.). Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а значения 
дают два решения исходного уравнения.
Чтобы исходное уравнение имело два решения, квадратное уравнение 
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее
Случай 1. Функция 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение 
имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 2 отрицательно:
Случай 2. Уравнение имеет единственное решение, большее двух, тогда и только тогда, когда выполнена система условий 
и 
Имеем:
Объединяя найденные в двух случаях значения параметра, получаем ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки  ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Задача верно сведена к исследованию расположения корней квадратного уравнения  где  | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид:
или
Прямые 
и 
(изображены синим пунктиром) разбивают плоскость xOa на четыре части, в каждой из которых модули снимаются одинаково.
I случай: 
и 
Получаем:
II случай: и 
Тогда:
Полученные равенства не выполняются при 
III случай: 
и Совокупность принимает вид
IV случай: и Получаем:
Графиком совокупности (⁎) являются две ломаные (изображены оранжевым), которые пересекаются в точке 
Значит, исходное уравнение имеет два решения при 
или 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точки  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получено хотя бы одно из ограничений множества значений a:  или  возможно, с включением граничных точек ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна из граничных точек множества значений a: или ИЛИ найдено хотя бы одно из уравнений | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
и Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Пусть 
тогда 
Раскроем модули:
Построим график функции 
Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
Чтобы исходное уравнение имело два решения, квадратное уравнение 
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 4, либо должно иметь единственное решение, большее чем 4. Рассмотрим эти случаи.
Случай 1. Функция 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 4, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 4 отрицательно:
Случай 2. Уравнение имеет единственное решение, большее чем 4, если и только если выполнена система условий и 
Имеем:
Объединяя полученные в двух случаях значения, получаем ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  | 3 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого только исключением точки  ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом верно выполнены все шаги решения | 2 |
Задача верно сведена к исследованию расположения корней квадратного уравнения  где  | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Пусть 
тогда 
Раскроем модули:
Построим график функции Заметим, что значения 
не дают решений исходного уравнения, значение 
дает бесконечно много решений, а каждое значение 
дает два решения исходного уравнения.
Чтобы исходное уравнение имело два решения, квадратное уравнение 
должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 
либо должно иметь единственное решение, большее чем 
Рассмотрим эти случаи.
Случай 1. Функция 
задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 
отрицательно:
Случай 2. Уравнение имеет единственное решение, большее чем если и только если выполнена система условий 
и 
Имеем:
Объединяя полученные в двух случаях значения, получаем ответ.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Пусть тогда исходное уравнение принимает вид
Раскроем модули:
Построим график функции t (см. рис.). Заметим, что значения не дают решений исходного уравнения, значение дает бесконечно много решений, а значения дают два решения исходного уравнения.
Чтобы исходное уравнение имело два решения, квадратное уравнение должно иметь либо два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, либо должно иметь единственное решение, большее
Случай 1. Функция задает на плоскости параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому уравнение имеет два различных корня, лежащих по разные стороны от числа 2, тогда и только тогда, когда значение функции f в точке 2 отрицательно:
Случай 2. Уравнение имеет единственное решение, большее двух, тогда и только тогда, когда выполнена система условий и Имеем:
Объединяя найденные в двух случаях значения параметра, получаем ответ.
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Наверх