PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
На рисунке изображён график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].
Решение. По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство
Следовательно, решениями уравнения f(x) = 0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x). На рисунке точки, в которых 
выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2; 4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2; 4] уравнение имеет 10 решений.
Ответ: 10.
На рисунке изображён график некоторой функции
(два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите
Решение. Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции
Поэтому
Ответ: 7.
Примечание Д. Д. Гущина.
В связи с возникающими у учителей вопросами приведем аналитическое решение; излишне громоздкое для данной задачи, но раскрывающее смысл констант в записи неопределенного интеграла. Разобраться в нем будет полезно и ученикам, желающим глубже понять тему.
Пользуясь данным в условии графиком, запишем функцию в виде
Запишем выражение для первообразной:
Заметим, что первообразная является дифференцируемой, а потому и непрерывной функцией в каждой точке своей области определения. Следовательно, непрерывной в точке 3. Поэтому выражения для первообразных в точке 3 должны быть равными. Подставим 
в уравнение
получим:
откуда 
Следовательно,
Пока найдена непрерывная функция F, которая является первообразной функции f на луче 
и на полуинтервале 
Осталось изучить дифференцируемость F в точке 3. Найдем левостороннюю и правостороннюю производные:
Левосторонняя производная F в точке 3 равна правосторонней, а потому 
Теперь можно утверждать, что функция F является первообразной для f на всей области определения. Для ответа на вопрос задачи осталось найти разность значений первообразной в точках
Ответ: 7.
Замечание. Отметим дополнительно, что левосторонняя и правосторонняя производные производные определяются как
Если положить в первой из этих формул 
а во второй — 
то соответственно: 
и 
откуда следуют более удобные для вычислений формулы:
которые были использованы выше в решении.
Пытливый читатель мог бы заинтересоваться тем, как «склеены» между собой ветви графика найденной первообразной в точке с абсциссой 3. Говоря более формально, необходимо узнать, каков угол между касательными лучами к ветвям графика функции f, проведенными в их общей точке. Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим функции 
и 
Из приведенных выше рассуждений следует, что 
и 
Но система уравнений
есть условие касания графиков функций f и g в точке x0. Итак, для любого значения константы С1 прямая 
является касательной к параболе 
Более простой способ показать касание не связан с производной. Покажем, что прямая 
является касательной к параболе 
то есть уравнение 
имеет ровно один корень, равный 3, а значит, для любого значения С эти прямая и парабола имеют единственную общую точку — точку касания.
Отметим дополнительно, что задания указанного типа должны быть знакомы учителям, например, по известной книге Галицкого М. Л., Мошковича М. М., Шварцбурда С. И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа (Москва, 1982): см. задание 4 из интересной, кстати, и самой по себе контрольной работы для 10 (11) класса с углубленным изучением математики.
Более простая задача приводится с решением в пособии Саакяна С. М. и др. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11 классов: необходимо найти общий вид первообразных функции 
К сожалению, приведенное авторами решение (см. ниже) нельзя признать полностью удовлетворительным, поскольку в нем не проверяется дифференцируемость найденной первообразной в точке 1. Предостерегаем читателя от этой ошибки.
Из более новых работ рекомендуем обратиться к учебнику М. Я. Пратусевича и др. Алгебра и начала математического анализа, 
разобран полностью без упущений.
На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция
— одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение. Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках 
и 
Имеем:
Приведем другое решение.
Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:
что позволяет сразу же найти
Приведем ещё одно решение.
Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:
Приведем ещё одно решение.
Получим явное выражение для 
Поскольку
имеем:
Примечание.
Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком 
оси абсцисс. Имеем:
Ответ: 6.
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция 
— одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Решение. Найдем формулу, задающую функцию 
график которой изображён на рисунке.
Следовательно, график функции 
получен сдвигом графика функции 
на 
единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:
Ответ: 4.
Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.
На рисунке изображен график некоторой функции
Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 
Решение. Определенный интеграл от функции
по отрезку 
дает значение площади подграфика функции на отрезке. Область под графиком разбивается на прямоугольный треугольник, площадь которого 
и прямоугольник, площадь которого 
Сумма этих площадей дает искомый интеграл
Ответ: 12.
