ЕГЭ−2021, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 7 № 323079

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция $F(x)=x в степени 3 плюс 30x в степени 2 плюс 302x минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8$ — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $минус 9$ и $минус 11.$

Имеем:

$F( минус 9)={{( минус 9)} в степени 3 } плюс 30 умножить на {{( минус 9)} в степени 2 } плюс 302 умножить на ( минус 9) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 729 плюс 2430 минус 2718 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 1018 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 .$

$F( минус 11)={{( минус 11)} в степени 3 } плюс 30 умножить на {{( минус 11)} в степени 2 } плюс 302 умножить на ( минус 11) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 1331 плюс 3630 минус 3322 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 1024 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 .$

$F( минус 9) минус F( минус 11)= минус 1018 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 плюс 1024 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 =6.$

Приведем другое решение.

Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:

$F(x)={{x} в степени 3 } плюс 30{{x} в степени 2 } плюс 302x минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 ={{(x плюс 10)} в степени 3 } плюс 2x минус 1000 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 ,$

что позволяет сразу же найти

$F( минус 9) минус F( минус 11) = ( минус 9 плюс 10) в степени 3 плюс 2 умножить на ( минус 9) минус (( минус 11 плюс 10) в степени 3 плюс 2 умножить на ( минус 11)) = 1 минус 18 минус ( минус 1 минус 22) = 6.$

Приведем ещё одно решение.

Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:

$F( минус 9) минус F( минус 11)= левая круглая скобка ( минус 9) в степени 3 плюс 30 умножить на ( минус 9) в степени 2 плюс 302 умножить на ( минус 9) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 правая круглая скобка минус левая круглая скобка ( минус 11) в степени 3 плюс 30 умножить на ( минус 11) в степени 2 плюс 302 умножить на ( минус 11) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 правая круглая скобка =$

$= ( минус 9) в степени 3 минус ( минус 11) в степени 3 минус 30 умножить на (( минус 9) в степени 2 минус ( минус 11) в степени 2 ) плюс 302 умножить на (( минус 9) минус ( минус 11)) = 11 в степени 3 минус 9 в степени 3 минус 30 умножить на (11 в степени 2 минус 9 в степени 2 ) плюс 302 умножить на (11 минус 9) =$

$= (11 минус 9)(11 в степени 2 плюс 11 умножить на 9 плюс 9 в степени 2 ) минус 30 умножить на (11 минус 9)(11 плюс 9) плюс 302 умножить на 2 = 2 умножить на 301 минус 30 умножить на 40 плюс 604 = 1206 минус 1200=6.$

Приведем ещё одно решение.

Получим явное выражение для $f(x).$ Поскольку

$f(x)={F}'(x)=3{{x} в степени 2 } плюс 60x плюс 302=3({{x} в степени 2 } плюс 20x плюс 100) плюс 2=3{{(x плюс 10)} в степени 2 } плюс 2,$

имеем:

$\left. принадлежит t\limits_{ минус 11} в степени минус 9 {(3{{(x плюс 10)} в степени 2 } плюс 2)dx=({{(x плюс 10)} в степени 3 } плюс 2x)} |_{ минус 11} в степени минус 9 =1 минус ( минус 1) плюс 2( минус 9 минус ( минус 11))=2 плюс 4=6.$

Примечание.

Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции $f(x)=3{{(x плюс 10)} в степени 2 } плюс 2$ получен сдвигом графика функции $y=3{{x} в степени 2 } плюс 2$ на $10$ единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=3{{x} в степени 2 } плюс 2$ и отрезком $[ минус 1;1]$ оси абсцисс. Имеем:

$S= принадлежит t\limits_{ минус 1} в степени 1 {(3{{x} в степени 2 } плюс 2)dx}=2 принадлежит t\limits_{0} в степени 1 {(3{{x} в степени 2 } плюс 2)dx}=\left. 2({{x} в степени 3 } плюс 2x) |_{0} в степени 1 =2(1 плюс 2) минус 0=6.$

Ответ:6.

Классификатор базовой части: 4.3.1 Первообразные элементарных функций, 4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии

Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь