Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 7 № 323079

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция F(x)=x в степени 3 плюс 30x в степени 2 плюс 302x минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8  — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках  минус 9 и  минус 11.

Имеем:

F( минус 9)={{( минус 9)} в степени 3 } плюс 30 умножить на {{( минус 9)} в степени 2 } плюс 302 умножить на ( минус 9) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 729 плюс 2430 минус 2718 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 1018 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 .

F( минус 11)={{( минус 11)} в степени 3 } плюс 30 умножить на {{( минус 11)} в степени 2 } плюс 302 умножить на ( минус 11) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 1331 плюс 3630 минус 3322 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 = минус 1024 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 .

F( минус 9) минус F( минус 11)= минус 1018 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 плюс 1024 дробь, числитель — 7, знаменатель — 8 =6.

Приведем другое решение.

Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:

F(x)={{x} в степени 3 } плюс 30{{x} в степени 2 } плюс 302x минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 ={{(x плюс 10)} в степени 3 } плюс 2x минус 1000 минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 ,

что позволяет сразу же найти

 

F( минус 9) минус F( минус 11) = ( минус 9 плюс 10) в степени 3 плюс 2 умножить на ( минус 9) минус (( минус 11 плюс 10) в степени 3 плюс 2 умножить на ( минус 11)) = 1 минус 18 минус ( минус 1 минус 22) = 6.

 

Приведем ещё одно решение.

Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:

F( минус 9) минус F( минус 11)= левая круглая скобка ( минус 9) в степени 3 плюс 30 умножить на ( минус 9) в степени 2 плюс 302 умножить на ( минус 9) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 правая круглая скобка минус левая круглая скобка ( минус 11) в степени 3 плюс 30 умножить на ( минус 11) в степени 2 плюс 302 умножить на ( минус 11) минус дробь, числитель — 15, знаменатель — 8 правая круглая скобка =

 = ( минус 9) в степени 3 минус ( минус 11) в степени 3 минус 30 умножить на (( минус 9) в степени 2 минус ( минус 11) в степени 2 ) плюс 302 умножить на (( минус 9) минус ( минус 11)) = 11 в степени 3 минус 9 в степени 3 минус 30 умножить на (11 в степени 2 минус 9 в степени 2 ) плюс 302 умножить на (11 минус 9) =

 

 = (11 минус 9)(11 в степени 2 плюс 11 умножить на 9 плюс 9 в степени 2 ) минус 30 умножить на (11 минус 9)(11 плюс 9) плюс 302 умножить на 2 = 2 умножить на 301 минус 30 умножить на 40 плюс 604 = 1206 минус 1200=6.

 

Приведем ещё одно решение.

Получим явное выражение для  f(x). Поскольку

f(x)={F}'(x)=3{{x} в степени 2 } плюс 60x плюс 302=3({{x} в степени 2 } плюс 20x плюс 100) плюс 2=3{{(x плюс 10)} в степени 2 } плюс 2,

имеем:

\[\left. принадлежит t\limits_{ минус 11} в степени минус 9 {(3{{(x плюс 10)} в степени 2 } плюс 2)dx=({{(x плюс 10)} в степени 3 } плюс 2x)} |_{ минус 11} в степени минус 9 =1 минус ( минус 1) плюс 2( минус 9 минус ( минус 11))=2 плюс 4=6.\]

Примечание.

Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции f(x)=3{{(x плюс 10)} в степени 2 } плюс 2 получен сдвигом графика функции y=3{{x} в степени 2 } плюс 2 на 10 единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции y=3{{x} в степени 2 } плюс 2 и отрезком [ минус 1;1] оси абсцисс. Имеем:

S= принадлежит t\limits_{ минус 1} в степени 1 {(3{{x} в степени 2 } плюс 2)dx}=2 принадлежит t\limits_{0} в степени 1 {(3{{x} в степени 2 } плюс 2)dx}=\left. 2({{x} в степени 3 } плюс 2x) |_{0} в степени 1 =2(1 плюс 2) минус 0=6.

 

Ответ:6.

Классификатор базовой части: 4.3.1 Первообразные элементарных функций, 4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии