ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 1 № 27768 Добавить в вариант

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB  =  AD  =  CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.

Спрятать решение

Решение.

Треугольник ADC  — равнобедренный, значит, углы DAC и ACD равны как углы при его основании. Треугольник ADB тоже равнобедренный, следовательно, углы ADB и ABD равны как углы при его основании, причем

$\angle ADB = 180 градусов минус \angle ADC = 180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус 2 \angle ACD правая круглая скобка = 2 \angle ACD.$

Тогда

$\angle A плюс \angle B плюс \angle C = 180 градусов равносильно \angle BAD плюс \angle DAC плюс \angle ABD плюс \angle ACD = 180 градусов равносильно$
$равносильно 5 \angle ACD = 180 градусов равносильно \angle ACD = 36 градусов.$ $\angle A плюс \angle B плюс \angle C = 180 градусов равносильно$
$равносильно \angle BAD плюс \angle DAC плюс \angle ABD плюс \angle ACD = 180 градусов равносильно$
$равносильно 5 \angle ACD = 180 градусов равносильно \angle ACD = 36 градусов.$

Ответ: 36.

Приведём другое решение.

Пусть $\angle DAB = альфа ,$ тогда $\angle DAC = альфа ,$ потому что луч AD  — биссектриса. Следовательно, $\angle ACD = альфа ,$ поскольку треугольник ADC  — равнобедренный. Значит, $\angle ADB = 2 альфа$ как внешний угол треугольника ADC, и $\angle ABD = 2 альфа$ в равнобедренном треугольнике DAB. Таким образом, в треугольнике DAB углы равны α, $2 альфа$ и $2 альфа$ соответственно. Вместе $5 альфа = 180 градусов,$ откуда $альфа = 36 градусов.$ Это и есть искомый наименьший угол С треугольника АВС.

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

5.1.1 Треугольник;

5.5.1 Величина угла, градусная мера угла.

Спрятать решение · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь

Гость 27.01.2015 11:30

Можете пояснит,почему 5 углов ACD=180

Сергей Никифоров

Угол ABD равен углу ADB, который в свою очередь равен двум углам ACD. Остальные углы в третьем равенстве равны между собой и равны углу ACD.