Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 484616

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Спрятать решение

Решение.

Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, AC = 8, BC = 6, искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S — в точке M.

 

Точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O — середина его гипотенузы AB.

R= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 8 в квадрате плюс 6 в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 10=5.

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH — средняя линия треугольника ABC поэтому OH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC=4 и CH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC=3, а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то ∠QCK = 45°, поэтому CK = QK = r.

Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда

OF=|OH минус FH|=|OH минус QK|=|4 минус r|,QF=KH=|r минус 3|.

Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда

OQ=OM минус QM=R минус r=5 минус r.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора OQ2 = OF2 + QF2 или

 левая круглая скобка 5 минус r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 4 минус r правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка r минус 3 правая круглая скобка в квадрате , откуда находим, что r=4.

Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то

OQ=OM плюс QM=R плюс r=5 плюс r.

Тогда из соответствующего уравнения (5 + r)2 = (4 − r)2 + (r − 3)2 находим, что r  = 24.

 

Ответ: 4 или 24.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 484616: 511304 Все

Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей