Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511304

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 12 и 16. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Спрятать решение

Решение.

Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, AC=16,BC=12, искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S  — в точке M.

Точка O  — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O  — середина его гипотенузы AB. Тогда

R= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из 16 в квадрате плюс 12 в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 20=10.

 

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH  — средняя линия треугольника ABC поэтому OH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC=8 и CH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC=6, а так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то \angle QCK=45 градусов , поэтому CK=QK=r.

Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда

OF=|OH минус FH|=|OH минус QK|=|8 минус r|,QF=KH=|r минус 6|.

 

Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда

OQ=OM минус QM=R минус r=10 минус r.

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора OQ в квадрате =OF в квадрате плюс QF в квадрате или

 левая круглая скобка 10 минус r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка r минус 6 правая круглая скобка в квадрате , откуда находим, что r=8.

 

Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то

OQ=OM плюс QM=R плюс r=10 плюс r.

 

Тогда из соответствующего уравнения  левая круглая скобка 10 плюс r правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка 8 минус r правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка r минус 6 правая круглая скобка в квадрате находим, что r=48.

 

Ответ: 8 или 48.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 484616: 511304 Все

Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей