Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 484617

Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.

Спрятать решение

Решение.

Первый случай.

Центры O1 и O окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD соответственно, лежат на биссектрисе MO угла AMD. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, является также окружностью, вписанной в треугольник AMD и вневписанной окружностью треугольника BMC. Будем искать площадь четырехугольника ABCD, как разность площадей треугольников AMD и BMC.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180°, но ∠BCM + ∠BCD = 180°, откуда ∠BCM = ∠BAD. Так как треугольники BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1) S_ABCD=S_\Delta ADM минус S_\Delta BCM= дробь: числитель: R в квадрате , знаменатель: r в квадрате конец дроби S_\Delta BCM минус S_\Delta BCM= левая круглая скобка дробь: числитель: R в квадрате , знаменатель: r в квадрате конец дроби минус 1 правая круглая скобка S_\Delta BCM.

2) S_\Delta BCM=pr, где p — полупериметр треугольника BCM, равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка KM.

3) Из прямоугольного треугольника OKM, находим KM=OK\ctg\angle OMK=R \ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби , откуда S_\Delta BCM=Rr \operatorname\ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .

Подставляя найденное значение SΔBCM в формулу SABCD, окончательно получаем

S_ABCD= левая круглая скобка дробь: числитель: R в квадрате , знаменатель: r в квадрате конец дроби минус 1 правая круглая скобка Rr\ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: R(R в квадрате минус r в квадрате ), знаменатель: r конец дроби \ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .

Второй случай.

Отличается от первого положением точки M левее точек D и A. В этом случае R < r и в рассуждении они и треугольники BCM и ADM должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае

S_ABCD= левая круглая скобка дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: R в квадрате конец дроби минус 1 правая круглая скобка S_\Delta ADM= левая круглая скобка дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: R в квадрате конец дроби минус 1 правая круглая скобка Rr\ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: r(r в квадрате минус R в квадрате ), знаменатель: R конец дроби \ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: S_ABCD= дробь: числитель: R(R в квадрате минус r в квадрате ), знаменатель: r конец дроби \operatorname\ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби или S_ABCD= дробь: числитель: r(r в квадрате минус R в квадрате ), знаменатель: R конец дроби \operatorname\ctg дробь: числитель: альфа , знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С4 Баллы
Обоснованно получен верный ответ 3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геотметрическая конфигурация, для которой получено правильное значениеискомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок. 2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получен значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки 1
Решение не соответсвует ни одному из критериев, перечисленных выше 0
Максимальное количество баллов 3

Аналоги к заданию № 484617: 484618 Все