Четырехугольник ABCD описан около окружности и вписан в окружность. Прямые AB и DC пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что ∠AMD = α и радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCM и AMD равны соответственно r и R.
Первый случай.
Центры O1 и O окружностей, вписанных в треугольники BMC и AMD соответственно, лежат на биссектрисе MO угла AMD. Окружность, вписанная в четырехугольник ABCD, является также окружностью, вписанной в треугольник AMD и вневписанной окружностью треугольника BMC. Будем искать площадь четырехугольника ABCD, как разность площадей треугольников AMD и BMC.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность, следовательно, ∠BAD + ∠BCD = 180°, но ∠BCM + ∠BCD = 180°, откуда ∠BCM = ∠BAD. Так как треугольники BCM и AMD имеют еще общий угол AMD, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.
Далее имеем:
1) 
2) 
где p — полупериметр треугольника BCM, равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка KM.
3) Из прямоугольного треугольника OKM, находим 
откуда 
Подставляя найденное значение SΔBCM в формулу SABCD, окончательно получаем
Второй случай.
Отличается от первого положением точки M левее точек D и A. В этом случае R < r и в рассуждении они и треугольники BCM и ADM должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания ответа на задание С4 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геотметрическая конфигурация, для которой получено правильное значениеискомой величины, или рассмотрены обе конфигурации, для которых получены значения искомой величины, неправильные из-за арифметических ошибок. | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получен значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки | 1 |
| Решение не соответсвует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальное количество баллов | 3 |