Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 484618

Четырехугольник KLMN описан около окружности и вписан в окружность. Прямые KL и NM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника KPN, если известно, что ∠KPN = φ и радиусы окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP равны соответственно r и R.

Спрятать решение

Решение.

Первый случай.

Центры O1 и O окружностей, вписанных в треугольники KPN и LMP соответственно, лежат на биссектрисе PO угла KPN. Окружность, вписанная в четырехугольник KLMN, является также окружностью, вписанной в треугольник KPN и вневписанной окружностью треугольника LMP.

Четырехугольник KLMN вписан в окружность, следовательно, ∠LKN + ∠LMN = 180°. Но ∠LMP + ∠LMN = 180°, откуда ∠LKN = ∠LMP. Так как треугольники KPN и LMP имеют еще общий угол KPN, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

Далее имеем:

1) S_\Delta KPN= дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: R в квадрате конец дроби S_\Delta LPM.

2) SΔLPM = pR, где p — полупериметр треугольника LPM равный длине отрезка AP, как сумма отрезков касательных проведенных из одной точки.

3) из прямоугольного треугольника OAP находим AP=OA\ctg\angle OPA=r\ctg дробь: числитель: \varphi , знаменатель: 2 конец дроби , откуда S_\Delta LPM=Rr\ctg дробь: числитель: \varphi , знаменатель: 2 конец дроби .

Подставляя найденное SΔLPM в формулу площади треугольника KPN, окончательно получаем

S_KPN= дробь: числитель: r в квадрате , знаменатель: R в квадрате конец дроби Rr\ctg дробь: числитель: \varphi , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: r в кубе , знаменатель: R конец дроби \ctg дробь: числитель: \varphi , знаменатель: 2 конец дроби .

Второй случай.

Отличается от первого расположением точки P левее точек N и K. В этом случае R > r и в рассуждении они и треугольники LMP и KPN должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае KPN — меньший из двух треугольников, а радиус вписанной в него окружности r. Значит

SKPN = rp, где p — полупериметр треугольника KPN равный отрезку PB. При этом, как и в первом случае, PB=R\ctg дробь: числитель: \varphi, знаменатель: 2 конец дроби . Таким образом, S_KPN=Rr\ctg дробь: числитель: \varphi, знаменатель: 2 конец дроби .

 

Ответ: S_KPN= дробь: числитель: r в кубе , знаменатель: R конец дроби \ctg дробь: числитель: \varphi , знаменатель: 2 конец дроби или S_KPN=Rr\ctg дробь: числитель: \varphi, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, для которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 484617: 484618 Все