Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 484634

При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений

 система выражений  новая строка bx плюс y=ac в степени 2 ,  новая строка x плюс by=ac плюс 1 конец системы .

имеет решения?

Решение.

Ясно, что при b=0 система имеет единственное решение

 система выражений  новая строка y=a{{c} в степени 2 },  новая строка x=ac плюс 1 , конец системы .

которое выражается через a и c однозначно, то есть существует для любых a и c.

При b\not=0 если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, получим

({{b} в степени 2 } минус 1)y=abc плюс b минус a{{c} в степени 2 }.

Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

получим

({{b} в степени 2 } минус 1)x=ab{{c} в степени 2 } минус ac минус 1.

Таким образом, исходная система равносильна системе

 система выражений  новая строка y=ac в степени 2 минус bx, новая строка ({{b} в степени 2 } минус 1)x=ab{{c} в степени 2 } минус ac минус 1. конец системы .

Первое уравнение полученной системы позволяет получить у по х. Следовательно, система имеет решения тогда и только тогда, когда имеет решения второе уравнение.

Уравнение ({{b} в степени 2 } минус 1)y=abc плюс b минус a{{c} в степени 2 } имеет единственное решение при любом b не равно \pm 1. Если b= минус 1 или b=1, то уравнение принимает вид a{{c} в степени 2 } плюс ac плюс 1=0 и a{{c} в степени 2 } минус ac минус 1=0 соответственно. Исходная система будет иметь решения если существуют a и c, удовлетворяющие полученным соотношениям. При a= 0 они не выполняются ни при каких значениях параметров. При a не равно 0 рассмотрим их как квадратные уравнения относительно параметра с. Дискриминанты уравнений должны быть неотрицательны: {{a} в степени 2 } минус 4a больше или равно 0 и {{a} в степени 2 } плюс 4a больше или равно 0. Решая неравенства, находим a принадлежит ( минус принадлежит fty ;0)\cup [4; плюс принадлежит fty ) и a принадлежит ( минус принадлежит fty ; минус 4]\cup (0; плюс принадлежит fty ). Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь, получаем: a принадлежит ( минус принадлежит fty ; минус 4]\cup [4; плюс принадлежит fty ).

 

Ответ: a принадлежит ( минус принадлежит fty ; минус 4]\cup [4; плюс принадлежит fty ).

 

Приведём решение Николая Александрова.

Данную систему уравнений можно рассмотреть как систему двух уравнений прямых y=k_1x плюс b_1 и y=k_2x плюс b_2. После преобразований получим: y= минус bx плюс ac в степени 2 и y=( минус 1/b)x плюс (ac плюс 1)/b. Прямые не имеют общих точек тогда и только тогда, когда выполняются условия: k_1=k_2 и b1 не равно b2. Находим:  минус b=( минус 1/b) и ac в степени 2 не равно (ac плюс 1)/b. Из первого уравнения находим b= \pm 1. Подставляя во второе соотношение, получим квадратные уравнения относительно с: ac в степени 2 минус ac минус 1=0 и ac в степени 2 плюс ac плюс 1=0. Они не имеют корней, если а = 0 или если их дискриминанты отрицательны. Из условий a в степени 2 плюс 4a меньше 0 и a в степени 2 минус 4a меньше 0 получаем  минус 4 меньше a меньше 4. При найденных значениях а система не имеет решений. При прочих — имеет.

 

Проверьте себя.

Каким будет ответ на вопрос «При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра с данная система уравнений будет иметь решения для любых значений параметра b? См. задачу 527046.


Аналоги к заданию № 484634: 527046 511309 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация прямых
Методы алгебры: Перебор случаев
Спрятать решение · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·
Сергей Шемякин 15.01.2020 18:58

Здравствуйте, объясните, пожалуйста, в чём разница между условиями заданий 484634 и 527046. Ведь именно правильная интерпретация каждого из них помогает получить предлагаемый сайтом ответ. Заранее спасибо!

Служба поддержки

В одном случае должно быть такое с — назовем его с0 — что есть решения при любых b. Другими словами, какое бы b не взяли, обязательно найдется решение при с0. А в другом случае для разных b могут быть решения при разных с.