СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 484634

При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений

имеет решения?

Решение.

Ясно, что при система имеет единственное решение

которое выражается через и однозначно, то есть существует для любых и

При если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, получим

Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

получим

Таким образом, исходная система равносильна системе

Первое уравнение полученной системы позволяет получить у по х. Следовательно, система имеет решения тогда и только тогда, когда имеет решения второе уравнение.

Уравнение имеет единственное решение при любом Если или то уравнение принимает вид и соответственно. Исходная система будет иметь решения если существуют a и c, удовлетворяющие полученным соотношениям. При они не выполняются ни при каких значениях параметров. При рассмотрим их как квадратные уравнения относительно параметра с. Дискриминанты уравнений должны быть неотрицательны: и Решая неравенства, находим и Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь, получаем:

 

Ответ:

 

Приведём решение Николая Александрова.

Данную систему уравнений можно рассмотреть как систему двух уравнений прямых и После преобразований получим: и Прямые не имеют общих точек тогда и только тогда, когда выполняются условия: и Находим: и Из первого уравнения находим Подставляя во второе соотношение, получим квадратные уравнения относительно с: и Они не имеют корней, если а = 0 или если их дискриминанты отрицательны. Из условий и получаем При найденных значениях а система не имеет решений. При прочих — имеет.

 

Проверьте себя.

Каким будет ответ на вопрос «При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра с данная система уравнений будет иметь решения для любых значений параметра b? См. задачу 527046.


Аналоги к заданию № 484634: 527046 511309 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Комбинация прямых
Методы алгебры: Перебор случаев
Спрятать решение · · Видеокурс · Курс Д. Д. Гущина ·
Сергей Шемякин 15.01.2020 18:58

Здравствуйте, объясните, пожалуйста, в чём разница между условиями заданий 484634 и 527046. Ведь именно правильная интерпретация каждого из них помогает получить предлагаемый сайтом ответ. Заранее спасибо!

Служба поддержки

В одном случае должно быть такое с — назовем его с0 — что есть решения при любых b. Другими словами, какое бы b не взяли, обязательно найдется решение при с0. А в другом случае для разных b могут быть решения при разных с.