Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 484645

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

 система выражений  новая строка y в квадрате плюс xy минус 4x минус 9y плюс 20=0,  новая строка y=ax плюс 1,  новая строка x больше 2 конец системы .

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходную систему:

 система выражений  новая строка (y минус 4)x плюс y в квадрате минус 9y плюс 20=0,  новая строка y=ax плюс 1,  новая строка x больше 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка (y минус 4)x плюс (y минус 4)(y минус 5)=0,  новая строка y=ax плюс 1,  новая строка x больше 2 конец системы . равносильно система выражений  новая строка (y минус 4)(x плюс y минус 5)=0,  новая строка y=ax плюс 1,  новая строка x больше 2. конец системы .

Уравнение (y минус 4)(x плюс y минус 5)=0 задает пару пересекающихся прямых y=4 и y=5 минус x.

Система

 система выражений  новая строка x больше 2,  новая строка (y минус 4)(y плюс x минус 5)=0 конец системы .

задает части этих прямых, расположенные правее прямой x=2, то есть лучи BD и CE (без точек B и C), см. рис.

Уравнение y=ax плюс 1 задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку A(0, 1). Следует найти все значения a, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и CE.

а) Прямая AB задается уравнением y=1,5x плюс 1. Поэтому при a больше или равно 1,5 прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч CE.

б) Прямая AC задается уравнением y=x плюс 1. Поэтому при 1 меньше или равно a меньше 1,5 прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч CE.

в) При 0 меньше a меньше 1 прямая m пресечет и луч BD, и луч CE.

г) Наконец, при  минус 1 меньше a меньше или равно 0 прямая m пересечет только луч CE, а при a меньше или равно минус 1 она не пересечет ни луч BD, ни луч CE.

 

Ответ: a принадлежит ( минус 1,0]\cup[1,1,5).

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 484645: 507500 Все

Классификатор алгебры: Комбинация прямых