ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д18 C7 № 484665 Добавить в вариант

Найдите несократимую дробь $дробь: числитель: p, знаменатель: q конец дроби$ такую, что $дробь: числитель: p, знаменатель: q конец дроби = дробь: числитель: 1234567\overbrace888...8 в степени левая круглая скобка 2000 правая круглая скобка 7654321, знаменатель: 12345678\underbrace999...9_199987654321 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Пусть $a=1234567888...87654321,$ $b=12345678999...987654321,$ а $НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка$   — наибольший общий делитель чисел a и $b.$ Тогда $p= дробь: числитель: a, знаменатель: НОД левая круглая скобка a,b правая круглая скобка конец дроби , q= дробь: числитель: b, знаменатель: НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка конец дроби .$

Число a состоит из 2014 знаков, а число b  — из 2015 знаков, а значит, b и $10a$ состоят из одинакового количества разрядов. Более того, рассмотрим разность $b минус 10a:$

$\raisebox6pt$ минус $\beginmatrix 12345678\overbrace99...9 в степени левая круглая скобка 1999 правая круглая скобка 87654321 \underline1234567888...876543210 \underbrace11...1_199911111111 \endmatrix$

По свойствам наибольшего общего делителя $НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =НОД левая круглая скобка a,b минус 10a правая круглая скобка =НОД левая круглая скобка a, \underbrace11...1_2007 правая круглая скобка .$

Заметим, что $a=\underbrace11111111_8 умножить на \underbrace11...1_2007,$ значит, число a кратно числу $\underbrace11...1_2007.$

Поэтому $НОД левая круглая скобка a, b правая круглая скобка =\underbrace11...1_2007,$ и тогда $p= дробь: числитель: a, знаменатель: \underbrace11...1_2007 конец дроби =\underbrace11...1_8,q= дробь: числитель: b, знаменатель: \underbrace11...1_2007 конец дроби =\underbrace11...1_9.$

Ответ: $дробь: числитель: 11111111, знаменатель: 111111111 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания ответа на задание С6	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	4
Решение не содержит логических пробелов, получен ответ, неверный только из-за вычислительной ошибки или описки.	3
Решение доведено до ответа, но содержит логические пробелы, вычислительные ошибки или описки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь