ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д11 C3 № 485950 Добавить в вариант

Решите систему неравенств: $система выражений новая строка логарифм по основанию левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 6 минус x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка больше или равно 0, новая строка \left| 2x . минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс \left| 2x минус 6 | в степени левая круглая скобка минус x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 2. . конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при $2x минус 6 не равно 0,$ то есть при $x не равно 3.$

Пусть $\left| 2x . минус 6 | в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =t, t больше 0.$ Тогда неравенство принимает вид

$t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 2 равносильно дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: t конец дроби меньше или равно 0.$

Последнее неравенство выполнено только при $t=1.$ Значит,

$|2x минус 6| в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка =1 равносильно совокупность выражений новая строка |2x минус 6|=1, новая строка x плюс 1=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=2,5, новая строка x=3,5, новая строка x= минус 1. конец совокупности .$

Подставим в первое неравенство найденные значения $x:$

1.  При $x=2,5: логарифм по основанию левая круглая скобка 7,5 правая круглая скобка 3,5 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка 5,5 больше 0$

2.  При $x=3,5: логарифм по основанию левая круглая скобка 8,5 правая круглая скобка 2,5 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка 6,5 меньше 0$

3.  При $x= минус 1: логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 7 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 5 правая круглая скобка 2 больше 0$

Неравенству удовлетворяют значения $x= минус 1$ и $x=2,5.$

Ответ: {−1; 2,5}.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Получен верный обоснованный ответ	3
Оба неравенства решены верно, но ответ к системе отсутствует или неверный, или допущена ошибка при подстановке решений второго неравенства в первое и проверке знаков.	2
Верно решено только одно из неравенств	1
Не решено верно ни одно из неравенств	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 485948: 485950 Все

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию, Неравенства с модулями, Системы неравенств

Методы алгебры: Введение замены, Использование косвенных методов

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.3 Показательные неравенства

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Скрыть комментарии · Помощь

Гость 18.12.2013 00:28

Подскажите пожалуйста, как вы определили знаки (последний пункт)?

Константин Лавров

Это очевидно следует из элементарных свойств логарифма или, например, из графика.