Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 500964

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c. Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC − в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому

CM плюс CN=CB плюс BT плюс CA плюс AT=CB плюс CA плюс (BT плюс AT)=

=CB плюс CA плюс AB=a плюс b плюс c=2p,

а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p. Четырехугольники NOcMC и KOaQC — квадраты, поэтому

r_c=O_cM=CM=p,

\quad r_a=CQ=AQ минус AC=p минус b,

значит, ra < rc.

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда

O_aF=QN=QC плюс CN=O_aK плюс O_cM=r_a плюс r_c=7 плюс 17=24,

O_cF=MK=CM минус CK=r_c минус r_a=17 минус 7=10,

Следовательно,

O_aO_c= корень из (O_aF в степени 2 плюс O_cF в степени 2 ) = корень из (24 в степени 2 плюс 10 в степени 2 ) =26.

 

 

Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой. Следовательно,

 O_aO_b=O_aC плюс CO_b=r_a корень из (2) плюс r_b корень из (2) =7 корень из (2) плюс 17 корень из ( 2)=24 корень из (2) .

 

Ответ: 26 или 24 корень из (2) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500964: 511349 Все