СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 500964

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = b, BC = a и гипотенузой AB = c. Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC − в точках M и N соответственно, а p — полупериметр треугольника ABC. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM = CB + BM = CB + BT и CN = CA + AN = CA + AT, поэтому

а так как CM = CN, то CM = p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC — в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ = AP = p. Четырехугольники NOcMC и KOaQC — квадраты, поэтому

значит, ra < rc.

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 7.

Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 17, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 7, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 7 и 17.

Предположим, что rc = 17 и ra = 7 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на OcN. Тогда

Следовательно,

 

 

Пусть теперь rb = 17 и ra = 7. (рис 2)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки Oa,C и Ob лежат на оной прямой. Следовательно,

 

Ответ: 26 или


Аналоги к заданию № 500964: 511349 Все

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих
Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Окружности и треугольники