Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511349

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 1 и 7. Найдите расстояние между их центрами.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=b,BC=a и гипотенузой AB=c. Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC − в точках M и N соответственно, а p − полупериметр треугольника ABC. Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что CM=CB плюс BM=CB плюс BT и CN=CA плюс AN=CA плюс AT, поэтому

 

CM плюс CN=CB плюс BT плюс CA плюс AT=CB плюс CA плюс (BT плюс AT)=CB плюс CA плюс AB=a плюс b плюс c=2p,

 

а так как CM=CN, то CM=p. Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC − в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем AQ=AP=p. Четырехугольники NO_cMC и KOaQC − квадраты, поэтому

r_c=O_cM=CM=p,\quad r_a=CQ=AQ минус AC=p минус b,

значит, r_a меньше r_c.

Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 1.

Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 7, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 1, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 1 и 7.

Предположим, что r_c=7 и r_a=1 (рис. 1).

Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на O_cN. Тогда

O_aF=QN=QC плюс CN=O_aK плюс O_cM=r_a плюс r_c=1 плюс 7=8,

O_cF=MK=CM минус CK=r_c минус r_a=7 минус 1=6,

Следовательно,

O_aO_c= корень из (O_aF в квадрате плюс O_cF в квадрате ) = корень из (8 в квадрате плюс 6 в квадрате ) =10.

 

Пусть теперь r_b=7 и r_a=1. (рис 2)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки O_a,C и Ob лежат на оной прямой. Следовательно,

 O_aO_b=O_aC плюс CO_b=r_a корень из (2) плюс r_b корень из (2) = корень из (2) плюс 7 корень из 2 =8 корень из (2) .

 

Ответ: 10 или 8 корень из (2) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 500964: 511349 Все