Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 1 и 7. Найдите расстояние между их центрами.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами 
и гипотенузой 
Пусть окружность с центром Oc радиуса rc касается гипотенузы в точке T, продолжений катетов BC и AC − в точках M и 
соответственно, а p − полупериметр треугольника 
Из равенства отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки, следует, что 
и 
поэтому
а так как
то 
Далее, пусть окружность с центром Oa радиуса ra касается катета BC в точке K, а продолжений сторон AB и AC − в точка P и Q соответственно. Рассуждая аналогично, получаем 
Четырехугольники
и KOaQC − квадраты, поэтому
значит, 
Следовательно, радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы данного прямоугольного треугольника, не может быть равен 1.
Таким образом, возможны только такие случаи: Либо радиус окружности, касающейся гипотенузы, равен 7, а радиус окружности, касающейся одного из катетов, равен 1, либо радиусы окружностей, касающихся катетов, равны 1 и 7.
Предположим, что 
и 
(рис. 1).
Опустим перпендикуляр OaF из центра меньшей окружности на 
Тогда
Следовательно,
Пусть теперь 
и 
(рис 2)
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому точки 
и Ob лежат на оной прямой. Следовательно,
Ответ: 
или 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |