Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 501400

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n <100.

Спрятать решение

Решение.

а) Так как периметр равен 4000, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 1000, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 1 000 000.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна x  левая круглая скобка 1 меньше или равно x меньше или равно 1000 правая круглая скобка , тогда другая сторона равна  левая круглая скобка 2000 минус x правая круглая скобка . В этом случае площадь прямоугольника равна  левая круглая скобка 2000x минус x в квадрате правая круглая скобка . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции  левая круглая скобка 2000x минус x в квадрате правая круглая скобка будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при x=1, а тогда площадь равна 1999. В этом случае условие также соблюдается, так как число 1999 равно 199900% от числа 1.

в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна  дробь: числитель: an, знаменатель: 100 конец дроби . Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 2000, получаем:

a плюс дробь: числитель: an, знаменатель: 100 конец дроби =2000; 100a плюс an=200000; a левая круглая скобка 100 плюс n правая круглая скобка =200000.

Так как a и n ― целые числа, то число 200 000 кратно числу  левая круглая скобка 100 плюс n правая круглая скобка .

Заметим, что 100 меньше левая круглая скобка 100 плюс n правая круглая скобка меньше 200, так как n меньше 100. Следовательно, требуется найти все делители числа 200 000, меньшие 200, но большие 100. Так как 200000=2 в степени 6 умножить на 5 в степени 5 , то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 6 и 5.

Возможны три случая:

1) Число  левая круглая скобка 100 плюс n правая круглая скобка не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем шестой. Но тогда оно не превосходит 64, что меньше 100.

2) Число  левая круглая скобка 100 плюс n правая круглая скобка делится на 5, но не делится на 25. Из чисел вида 5 умножить на 2 в степени n в искомый промежуток попадает только число 5 умножить на 2 в степени 5 =160. В этом случае а=1250, а площадь равна 937 500.

3) Число  левая круглая скобка 100 плюс n правая круглая скобка делится на 25. В этом случае оно может быть равно 125, 150 или 175. Но число 150 делится на 3, а 175 делится на 7, значит, они оба не являются делителями числа 200 000. Если же 100 + n = 125, то a = 1600, а площадь равна 640 000.

 

Ответ: а) 1 000 000; б) 1999; в) 937 500 или 640 000.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно выполнены все 3 пункта: а), б) и в)4
Выполнены все три пункта, однако в одном из пунктов ответ недостаточно

обоснован или неверен вследствие арифметической ошибки

3
Верно выполнены пункты а) и б), либо верно выполнен пункт в) 2
Верно выполнен один из 2-х пунктов: а) или б)1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Источник: Пробный экзамен по математике. Санкт-Петербург 2013. Вариант 1.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства