Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 501734

а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 1292 = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0, где числа a_i — целые, 0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3?

 

б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0, где числа a_i — целые, 0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3 ровно 130 способами?

 

в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N = a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0, где числа a_i — целые, 0 меньше или равно a_i меньше или равно 99, i=0;1;2;3 ровно 130 способами?

Спрятать решение

Решение.

Каждое число 0 меньше или равно a_i меньше или равно 99 однозначно представляется в виде a_i=10b_i плюс c_i, где 0 меньше или равно b_i меньше или равно 9 и 0 меньше или равно c_i меньше или равно 9 левая круглая скобка i=0; 1; 2; 3 правая круглая скобка . Значит, для каждого представления некоторого числа N в виде N=a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0 имеет место единственное представление N в виде N=10n плюс m, где n=b_3 умножить на 10 в кубе плюс b_2 умножить на 10 в квадрате плюс b_1 умножить на 10 плюс b_0 и m=c_3 умножить на 10 в кубе плюс c_2 умножить на 10 в квадрате плюс c_1 умножить на 10 плюс c_0 — произвольные целые числа от 0 до 9999. Число способов записать число N в виде N=a_3 умножить на 10 в кубе плюс a_2 умножить на 10 в квадрате плюс a_1 умножить на 10 плюс a_0 равно числу способов записать число N в виде N = 10n плюс m.

 

а) Для представления числа 1292 в виде 1292 = 10n плюс m в качестве n можно взять любое целое число от 0 до 129. При этом m=1292 минус 10n определено однозначно. Таким образом, искомое число способов равно 130.

 

б) Повторяя рассуждения предыдущего пункта, несложно показать, что каждое из чисел от 1290 до 1299 представимо в требуемом виде ровно 130 способами.

 

в) Рассмотрим представление некоторого числа N в виде N=10n плюс m, где n и m — некоторые целые числа от 0 до 9999. Представим m в виде m=10k плюс l, где l — цифра единиц числа m, а k — некоторое целое число от 0 до 999. Тогда выполнено:

N=10n плюс 10k плюс l равносильно N минус l=10 левая круглая скобка n плюс k правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: N минус l, знаменатель: 10 конец дроби =n плюс k.

Найдём все числа K, представимые ровно 130 способами в виде K=n плюс k, где n — некоторое целое число от 0 до 9999, а k — некоторое целое число от 0 до 999.

 

Пусть для некоторого числа K представления K=n_1 плюс k_1 и K=n_2 плюс k_2 таковы, что n_1 — наименьшее возможное n, а n_2 — наибольшее возможное n. Тогда n_1=0 или k_1=K минус n_1=999, иначе бы было представление K= левая круглая скобка n_1 минус 1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка k_1 плюс 1 правая круглая скобка . Аналогично, n_2=9999 или k_2=K минус n_2=0.

 

Заметим, что для любого целого n_0 такого, что n_1 меньше n_0 меньше n_2, имеется представление K=n_0 плюс k_0, поскольку 0 меньше или равно n_1 меньше n_0 меньше n_2 меньше или равно 9999, 0 меньше или равно k_2 меньше k_0 меньше k_1 меньше или равно 999. Таким образом, количество представлений равно n_2 минус n_1 плюс 1. Если n_1 = 0; n_2=9999 или k_1=999, k_2=0, то представлений больше. Значит, или n_1=0;n_2=129;k_2=0; K=129; N=1290 плюс l, или n_2=9999; n_1=9870; k_1=999; K=10869; N=108690 плюс l, где l — произвольная цифра. Таким образом, искомое количество чисел равно 20.

 

Ответ: а) 130; б) да; в) 20.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснованное решение п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснованная оценка количества задуманных чисел в п. е;

— оба набора задуманных чисел в п. в

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл4
Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2013
Классификатор алгебры: Числа и их свойства