Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка за точку Возможны два случая.

Первый случай. Точки и лежат по одну сторону от прямой Через точку проведём прямую, параллельную Пусть A —‍ точка её пересечения с радиусом В треугольнике известно, что

Треугольник AMN — равносторонний, следовательно,

Второй случай. Точки M и N лежат по разные стороны от прямой Пусть A — точка её пересечения с продолжением радиуса

В треугольнике MAN известно, что

По теореме косинусов:

Следовательно,

Ответ: 10 или 38.

Приведём другое решение.

Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка за точку Возможны два случая.

Первый случай. Точки и лежат по одну сторону от прямой Опустим перпендикуляры и MK на прямую следовательно, четырёхугольник  — трапеция. Откуда Из треугольника

Поскольку и — прямоугольник. Откуда и В треугольнике MNK По теореме Пифагора:

Второй случай. Точки и лежат по разные стороны от прямой Опустим перпендикуляры и MK на продолжение прямой Аналогично первому случаю, получаем, что откуда Из треугольника NMK по теореме Пифагора:

Примечание. Приведём авторское решение, оно неверно, поскольку не является параллелограммом.

Точки и K лежат на одной прямой. Возможны два случая. Первый случай: точки M и N лежат по одну сторону от прямой (рис. 1). Отрезок ML параллелен отрезку (точка L принадлежит радиусу ), следовательно,  — параллелограмм:

В треугольнике LMN имеем значит, треугольник LMN — правильный, откуда

Второй случай: точки и N лежат по разные стороны от прямой (рис. 2). Отрезок ML параллелен отрезку (точка L лежит на продолжении радиуса за точку ), следовательно,  — параллелограмм:

В треугольнике LMN имеем откуда