Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 501754

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O_1 и O_2 соответственно касаются внутренним образом в точке K,MO_1 и N O_2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём \angle MO_1O_2=120 градусов. Найдите MN.

Спрятать решение

Решение.

Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка O‍_1O‍_2‍ за точку O‍_1.‍ Возможны два случая.

Первый случай. Точки M‍ и N‍ лежат по одну сторону от прямой O‍_1O‍_2.‍ Через точку M‍ проведём прямую, параллельную O‍_1O‍_2.‍ Пусть A —‍ точка её пересечения с радиусом O‍_2N.‍ В треугольнике AMN‍ известно, что

AM=O_1O_2=21 минус 11=10,AN=O_2N минус O_2A=O_2N минус O_1M=21 минус 11=10.

\angle MAN = 180 градусов минус \angle MAO_2=180 градусов минус \angle MO_1O_2=180 градусов минус 120 градусов.

Треугольник AMN — равносторонний, следовательно, MN=AM=10.

Второй случай. Точки M и N лежат по разные стороны от прямой O_1O_2. Пусть A — точка её пересечения с продолжением радиуса

O_2N. В треугольнике MAN известно, что

AM=O_1O_2=21 минус 11 минус 10,AN=O_2N плюс O_2A=O_2N плюс O_1M=21 плюс 11=32,

\angle MAN=\angle MO_1O_2=120 градусов.

По теореме косинусов:

MN в квадрате =AN в квадрате плюс AM в квадрате минус 2AN умножить на AM косинус 120 градусов=1024 плюс 100 минус 2 умножить на 32 умножить на 10 умножить на левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =4(256 плюс 25 плюс 80)=4 умножить на 361.

Следовательно, MN= корень из (4 умножить на 361) =2 умножить на 19=38.

 

Ответ: 10 или 38.

 

Приведём другое решение.

Поскольку окружности касаются внутренним образом, точка касания лежит на продолжении отрезка O‍_1O‍_2‍ за точку O‍_1.‍ Возможны два случая.

Первый случай. Точки M‍ и N‍ лежат по одну сторону от прямой O‍_1O‍_2.‍ Опустим перпендикуляры O_1H и MK на прямую O_2N, O_1M||O_2N, следовательно, четырёхугольник O_1O_2NM — трапеция. Откуда \angle O_1O_2N=180 градусов минус O_2O_1M=180 градусов минус 120 градусов=60 градусов Из треугольника O_1O_2H:

O_2H=O_1O_2 косинус \angle O_1O_2H=(21 минус 11) косинус 60 градусов=10 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =5,

O_1H=O_1O_2 синус \angle O_1O_2H=(21 минус 11) синус 60 градусов=10 умножить на дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби =5 корень из (3) ,

Поскольку O_1M||O_2N, O_1H||MT, иO_1H\perpO_2N,O_1HKM — прямоугольник. Откуда O_1H=MK=5 корень из (3) и O_1M=HK=11. В треугольнике MNK NK=O_2N минус O_2H минус HK=21 минус 5 минус 11=5. По теореме Пифагора:

MN= корень из (NK в квадрате плюс MN в квадрате ) = корень из (75 плюс 25) =10.

Второй случай. Точки M‍ и N‍ лежат по разные стороны от прямой O‍_1O‍_2.‍ Опустим перпендикуляры O_1H и MK на продолжение прямой O_2N. Аналогично первому случаю, получаем, что MK=5 корень из (3) , KG=5, откуда O_2G=21 минус 5=16, MK=5 корень из (3) . Из треугольника NMK по теореме Пифагора:

MN= корень из (MK в квадрате плюс KN в квадрате ) = корень из (75 плюс (5 плюс 11 плюс 21) в квадрате ) =38.

 

 

 

Примечание. Приведём авторское решение, оно неверно, поскольку LMOO_1O_2 не является параллелограммом.

Точки O_1, O_2 и K лежат на одной прямой. Возможны два случая. Первый случай: точки M и N лежат по одну сторону от прямой O_1O_2 (рис. 1). Отрезок ML параллелен отрезку O_1O_2 (точка L принадлежит радиусу N O_2), следовательно, O_1 O_2LM — параллелограмм: ML=O_1O_2=10, O_1M=O_2L=11, \angle O_2LM=\angle MO_1O_2=120 градусов.

В треугольнике LMN имеем LM=10,LN=10,\angle MLN=60 градусов, значит, треугольник LMN — правильный, откуда MN=10.

Второй случай: точки М и N лежат по разные стороны от прямой O_1O_2 (рис. 2). Отрезок ML параллелен отрезку O_1O_2 (точка L лежит на продолжении радиуса N O_2 за точку O_2), следовательно, O_1 O_2 LM — параллелограмм: ML=O_1O_2=10, O_1M=O_2L= 11,\angle O_2LM=MO_1O_2= 120 градусов.

В треугольнике LMN имеем LM=10,LN=32,\angle MLN=120 градусов, откуда

MN = корень из (LM в квадрате плюс LN в квадрате минус 2LM умножить на LN умножить на косинус \angle MLN) = 38.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501692: 501732 501754 501947 501987 511365 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 402., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей