СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 503130

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.

а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.

б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.

Решение.

а) Прямые AE и CD параллельны, a DE — биссектриса угла ADC, поэтому ∠AED = ∠CDE = ∠ADE. Значит, треугольник ADE равнобедренный, AD = АЕ. Отрезки АK и AT касательных, проведённых к окружности из точки A, равны, значит, треугольник ATK также равнобедренный, причём угол при вершине A у этих треугольников общий. Поэтому ∠ATK = ∠ADE. Следовательно, KT || DE.

б) Пусть окружность касается основания DE равнобедренного треугольника ADE в точке М. Тогда M — середина DE. Обозначим DM = x. Тогда DT = DM = x, AT = ADDT = 8 − x. Треугольник ATK подобен треугольнику ADE, поэтому или Отсюда находим, что x = 4. Тогда DE = 2х = 8, значит, треугольник ADE равносторонний. Следовательно, ∠BAD = ∠EAD = 60°.

 

Ответ: 60°.


Аналоги к заданию № 503002: 503130 511381 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник
Спрятать решение · Прототип задания · ·
София Сокольникова 15.04.2017 20:13

Надо ли рассматривать случай, если DE-биссектриса острого угла ? Ведь ответ другой получится

Константин Лавров

В пункте а) это не важно, а в пункте б) не явно дано, что это биссектриса тупого угла в 120o.