Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 504418

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC, если площадь параллелограмма ABCD равна 48.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.

 

Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,

MR= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BM.

Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что

 дробь: числитель: BP, знаменатель: PM конец дроби = дробь: числитель: BN, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, BP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BM. Из доказанного следует, что BP=PR=RM.

б) Пусть площадь параллелограмма равна S. Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна

S_BRC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S= дробь: числитель: S, знаменатель: 3 конец дроби .

Аналогично найдём площадь треугольника BNP. Его высота, проведённая к BN, составляет  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому

S_BNP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби S.

Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби S= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби S= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби умножить на 48 = 14

Ответ: 14.

 

Приведем решение пункта а) Юлии Ерохиной.

По условию M — середина AD, BN : NC = 1 : 3. Тогда, полагая BN = x, получаем: NC = 3x, AM = MD = 2x. Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.

Треугольник BRC подобен треугольнику ARM по двум углам (углы BRC и ARM равны как вертикальные, углы BCR и MAR равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно, дробь: числитель: BR, знаменатель: RM конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: 2 конец дроби =2. Пусть RM = y, тогда BR = 2y, BM = 3y.

Треугольник BPN подобен треугольнику APM по двум углам (углы BPN и APM равны как вертикальные, углы BNP и MAP равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей), следовательно, дробь: числитель: BP, знаменатель: PM конец дроби = дробь: числитель: BN, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . Пусть BP = z, тогда PM = 2z, BM = 3z.

Таким образом, 3y = 3z, откуда y = z, то есть BP = PR = RM.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 504418: 511388 Все

Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства