Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 511388

На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : 3.

а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.

б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 27.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.

 

Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника ABD, значит,

MR= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BM.

Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что

 дробь: числитель: BP, знаменатель: PM конец дроби = дробь: числитель: BN, знаменатель: AM конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Значит, BP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BM. Из доказанного следует, что BP=PR=RM

 

б) Пусть площадь параллелограмма равна S . Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом  дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет  дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна

S_BRC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S= дробь: числитель: S, знаменатель: 3 конец дроби .

Аналогично найдём площадь треугольника BNP . Его высота, проведённая к BN , составляет  дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби высоты параллелограмма, проведённой к стороне BC , а сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому

S_BNP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби S.

Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 24 конец дроби S= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби S= дробь: числитель: 7, знаменатель: 24 конец дроби умножить на 27 = дробь: числитель: 63, знаменатель: 8 конец дроби

 

Ответ:  дробь: числитель: 63, знаменатель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 504418: 511388 Все

Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства