Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 16 № 505537

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC = 3MB.

а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б) Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.

Спрятать решение

Решение.

Известно, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит,

BB_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби BM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC.

Поэтому треугольники AB1B и CB1B равнобедренные, причём ∠B1AB = ∠ABB1 и ∠B1CB = ∠CBB1. Сумма всех этих четырёх углов равна 180°. Тогда ∠ABC = ∠ABB1 + ∠CBB1 = 90°. Следовательно, треугольник ABC — прямоугольный.

б) Треугольник A1BA прямоугольный. Поэтому

AA_1 в квадрате =A_1B в квадрате плюс BA в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби CB в квадрате плюс BA в квадрате .

Аналогично из прямоугольного треугольника C1BC находим:

CC_1 в квадрате =C_1B в квадрате плюс BC в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AB в квадрате плюс BC в квадрате .

Тогда AA_1 в квадрате плюс CC_1 в квадрате = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби AB в квадрате плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби BC в квадрате = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка AB в квадрате плюс BC в квадрате правая круглая скобка = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби AC в квадрате =125.

Ответ: 125.

 

Приведём другое решение пункта а).

Покажем, что медиана, проведенная к стороне AC, равна половине этой стороны. Тогда угол, противолежащий стороне AC, равен 90°, что и требуется доказать. Действительно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, BB_1= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби BM= дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 505537: 509323 509344 511579 Все

Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Многоугольники и их свойства