СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505599

Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Решение.

Для начала построим сечение PQR: проведем линию QP до пересечения с прямой AC (точка E). В плоскости грани ADC соединим точки E и R: линия ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.

Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.

Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим QP по теореме косинусов:

Теперь найдем угол BPQ (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Заметим, что как вертикальные, тогда можем найти угол AEP (на рисунке угол 2):

Вычислим синус угла 2:

По теореме синусов для треугольника APE:

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме косинусов имеем:

Из этого же треугольника найдем угол CER (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Найдем синус угла ASE (на рисунке угол 2):

По теореме синусов для треугольника ASE:

*) см. примечание.

Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: Выразим векторы и через базисные:

где откуда,

 

где откуда

 

 

Теперь найдем длины этих векторов (используя то, что , а также тот факт, что

 

 

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

 

Окончательно получаем:

 

Ответ:

 

 

Примечание Дмитрия Гущина.

Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда В нашем случае: откуда то есть

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.
Методы геометрии: Использование векторов, Теорема менелая для тетраэдра
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная треугольная пирамида, Угол между прямыми