СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505605

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?

Решение.

Так как основание высоты падает в центр ромба основания, то мы получим два равнобедренных треугольника: ASC и BSD (так как отрезок SO является в них высотой и медианой).

Далее, построим искомое сечение: плоскость сечения пересекает плоскость (BSD) по линии, параллельной линии BD. Поэтому в треугольнике BSD через точку пересечения высоты SO и отрезка AM (точка P) проводим отрезок , точки N и K принадлежат сторонам SB и SD соответственно. Остается соединить точку K с точками A и M в плоскостях (ASD) и (SCD) соответственно; точку N с точками A и M в плоскостях (ASB) и (SBC) соответственно.

Покажем, что в полученном в сечении 4-угольнике диагонали AM и NK пересекаются под прямым углом. Рассмотрим наклонную прямую AM и ее проекцию AG на плоскость основания (ABC): так как ABCD — ромб, то , и по теореме о 3-х перпендикулярах А так как , то Значит, площадь данного сечения можно найти так:

Найдем стороны, необходимые для вычислений: ; по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABO найдем BO:

В равнобедренном треугольнике ASC медианы SO и AM делятся в отношении 2:1, считая от вершин S и A соответственно. Поэтому

В равнобедренном треугольнике BSD, отрезок NK отсекает подобный ему треугольник NSK (угол S — общий; , как соответственные). Поэтому , откуда

 

Рассмотрим далее выносной чертеж: треугольник ASC.

По условию , поэтому треугольник AMG — равнобедренный прямоугольный. Значит, AG = MG, тогда по теореме Пифагора Так как в треугольнике SOC отрезок MG параллелен SO и выходит из середины стороны SC, то MG является средней линией данного треугольника. Тогда , откуда получаем

 

Осталось посчитать площадь сечения:

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.
Классификатор стереометрии: Площадь сечения, Четырехугольная пирамида