Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505637

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что AO= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 .

б) Найдите длину отрезка CE.

Решение.

Центр вписанной в угол окружности лежит на биссектрисе угла. Для решения задачи докажем следующую лемму.

Лемма: точка O принадлежит стороне AB, то есть AB является биссектрисой угла DAF.

Доказательство: во-первых, из свойств секущих к окружности получим:

BD умножить на BE = BA умножить на BC\Rightarrow дробь, числитель — BD, знаменатель — BC = дробь, числитель — BA, знаменатель — BE .

Тогда треугольники ABD и EBC подобны (угол ABD общий). Тогда ∠BDA = ∠BCE = β, ∠BAD = ∠BEC = γ.

Во-вторых, угол между дугой и касательной равен вписанному углу, опирающемуся на данную хорду, откуда ∠BFA = ∠ABD = α.

Далее, центральный угол AO2B в 2 раза больше вписанного угла AFB, поэтому \angle{AO_2B} = 2\alpha. Так как треугольник AO2B равнобедренный (AO2 = O2B = R1), то

\angle O_2AB = дробь, числитель — Пи минус 2\alpha, знаменатель — 2 = дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус \alpha.

Аналогично для угла ACE:

\angle AO_1E = 2\beta\Rightarrow\angle EAO_1 = дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус \beta.

Углы O_2AF и EAO_1 равны, как вертикальные, и потому получаем:

\angle BAF = \angle O_2AB плюс \angle O_2AF = дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус \alpha плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус \beta = Пи минус \alpha минус \beta = \gamma.

Отсюда получаем, что \angle FAB = \angle BAD = \gamma, а значит точка O лежит на стороне AB. Лемма доказана.

 

Из леммы получили:

\angle DAE= Пи минус \angle FAD = Пи минус 2\gamma\Rightarrow\angle EAC = Пи минус \angle BAD минус \angle DAE = Пи минус \gamma минус ( Пи минус 2\gamma) = \gamma.

Тогда \angle AEC = \alpha, и треугольники AEC и EBC подобны по 2-м углам, откуда выпишем соотношения:

 дробь, числитель — BC, знаменатель — EC = дробь, числитель — BE, знаменатель — AE = дробь, числитель — EC, знаменатель — AC .

Из равенства первой и третьей дробей получим:

 дробь, числитель — 5 плюс 4, знаменатель — EC = дробь, числитель — EC, знаменатель — 4 \RightarrowEC в степени 2 = 36\RightarrowEC = 6.

Тогда  дробь, числитель — BE, знаменатель — AE = дробь, числитель — BC, знаменатель — EC = дробь, числитель — 9, знаменатель — 6 = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 .

 

Проведем дополнительно отрезок EO — он является биссектрисой угла BEA, а значит и биссектрисой треугольника ABE. Тогда по свойству биссектрисы в треугольнике имеем:

 дробь, числитель — BO, знаменатель — AO = дробь, числитель — BE, знаменатель — AE \Rightarrow дробь, числитель — 5 минус AO, знаменатель — AO = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 \Rightarrow дробь, числитель — 5, знаменатель — AO = дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 \Rightarrow AO = 2 = дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 .

Требуемое доказано.

 

Ответ: 6.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.
Методы геометрии: Свойства биссектрис, Свойства касательных, секущих, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности, Подобие