СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505639

Пе­ре­мно­жа­ют­ся все вы­ра­же­ния вида (при все­воз­мож­ных ком­би­на­ци­ях зна­ков).

а) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся целым чис­лом?

б) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся квад­ра­том це­ло­го числа?

Решение.

Решим сразу пункт б). Покажем, что ответ положительный. Слагаемых всего сто, поэтому различных расстановок плюсов и минусов будет Обозначим один из корней за и будем рассматривать искомое выражение как многочлен степени Делители разобьём на две группы: в одну включаем те, в которых при стоит знак «+», в другую — те, в которых при стоит «−». Произведение одночленов первой группы обозначим через произведение одночленов второй группы через каждый степени (в каждой группе встречаются всевозможные комбинации знаков всех слагаемых, кроме ) в силу определения этих многочленов.

Кроме того, поскольку при замене всех знаков при слагаемых в группе множителей, составляющих выражение не изменится, так как скобок чётное число, в то же время, превратится в так как в скобках стоит теперь со знаком «–». Отсюда получаем, что т. е. — чётная функция.

Если многочлен есть чётная функция, то он содержит только чётные степени и его можно рассматривать как многочлен от Докажем, что есть чётная функция и от остальных радикалов. Обозначим радикал, отличный от через и будем теперь считать функцией от Разложим на два сомножителя и в первый из которых входят делители с коэффициентом 1 при а во второй — с коэффициентом –1. Очевидно, что Тогда Итак, после раскрытия скобок в выражении все радикалы будут встречаться в чётных степенях, так что — целое число. — это тоже самое число. Итак, всё произведение есть полный квадрат.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.