СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505639

Перемножаются все выражения вида (при всевозможных комбинациях знаков).

а) Может ли результат являться целым числом?

б) Может ли результат являться квадратом целого числа?

Решение.

Решим сразу пункт б). Покажем, что ответ положительный. Слагаемых всего сто, поэтому различных расстановок плюсов и минусов будет Обозначим один из корней за и будем рассматривать искомое выражение как многочлен степени Делители разобьём на две группы: в одну включаем те, в которых при стоит знак «+», в другую — те, в которых при стоит «−». Произведение одночленов первой группы обозначим через произведение одночленов второй группы через каждый степени (в каждой группе встречаются всевозможные комбинации знаков всех слагаемых, кроме ) в силу определения этих многочленов.

Кроме того, поскольку при замене всех знаков при слагаемых в группе множителей, составляющих выражение не изменится, так как скобок чётное число, в то же время, превратится в так как в скобках стоит теперь со знаком «–». Отсюда получаем, что т. е. — чётная функция.

Если многочлен есть чётная функция, то он содержит только чётные степени и его можно рассматривать как многочлен от Докажем, что есть чётная функция и от остальных радикалов. Обозначим радикал, отличный от через и будем теперь считать функцией от Разложим на два сомножителя и в первый из которых входят делители с коэффициентом 1 при а во второй — с коэффициентом –1. Очевидно, что Тогда Итак, после раскрытия скобок в выражении все радикалы будут встречаться в чётных степенях, так что — целое число. — это тоже самое число. Итак, всё произведение есть полный квадрат.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства