СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости




Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505645

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются "непохожими", если они различаются не менее, чем по 51 признаку.

а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.

б) А может ли быть 50?

Решение.

а) Пусть непохожих растений 51 и из них имеют данный признак, а — не имеют. Число несовпадающих по этому признаку пар равно В сумме получаем менее несовпадений. Но по условию их должно быть больше, чем Противоречие.

б) Пусть в справочнике есть видов попарно непохожих растений. Добавим к описанию еще один признак: чётность числа имеющихся у данного растения признаков. Получим справочник, где для описания растения используется уже 101 признак, причем любые описания различаются по крайней мере по 52 признакам (если исходные описания различались ровно по 51 признаку, то чётности числа имеющихся признаков у них различны). Действуя так же, как в пункте а), получаем, что общее число различий не меньше но не больше Из неравенства следует, что Итак, в новом, а значит, и в исходном справочнике описано не более 34 попарно непохожих растений.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.