СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 505675

На доске на­пи­са­ны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а) До­ка­жи­те, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими чис­ла­ми, вы­ра­же­ние не будет равно 0.

б) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство на­пи­сан­ных чисел не­об­хо­ди­мо сте­реть с доски для того, чтобы после не­ко­то­рой рас­ста­нов­ки «+» и «−» между остав­ши­ми­ся чис­ла­ми зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­ня­лось 0?

Ре­ше­ние.

Сна­ча­ла до­ка­жем вспо­мо­га­тель­ное утвер­жде­ние: сумма двух не­со­кра­ти­мых дро­бей с раз­лич­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми не может рав­нять­ся нулю. Дей­стви­тель­но, пусть — эти дроби, и для опре­де­лен­но­сти, Пусть Тогда Тогда долж­но де­лить­ся на т. к. и вза­им­но про­сты. Но Про­ти­во­ре­чие.

а) Долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство: Но по до­ка­зан­но­му утвер­жде­нию это ра­вен­ство не­воз­мож­но, т. к. наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель пер­вой скоб­ки будет вза­им­но прост с чис­лом 11.

б) Из пунк­та а) сле­ду­ет, что дробь сле­ду­ет вы­черк­нуть. Ана­ло­гич­но, надо вы­черк­нуть дроби Далее, пусть не вы­черк­ну­та хотя бы одна из дро­бей и Тогда их вклад в общую сумму будет равен или Наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель осталь­ных дро­бей не де­лит­ся на 5, по­это­му по вспо­мо­га­тель­но­му утвер­жде­нию опять по­лу­чит­ся про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, дроби и надо вы­черк­нуть. Для осталь­ных чисел нуж­ная рас­ста­нов­ка плю­сов и ми­ну­сов на­хо­дит­ся:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.