СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости



Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 505683

В кубе ABCDA1B1C1D1 плос­кость про­хо­дит через пря­мую A1B1 и се­ре­ди­ну ребра DD1. Найти рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра DC до плос­ко­сти, если ребро куба равно 4.

Ре­ше­ние.

По­ме­стим за­дан­ный куб в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть М — се­ре­ди­на ребра DD1, K — се­ре­ди­на ребра DC. Тогда: A1 (4; 0; 4), B1 (0; 0; 4), M (4; 4; 2), K (2; 4; 0).

Урав­не­ние се­ку­щей плос­ко­сти имеет вид ax + by + cz + d = 0. Плос­кость про­хо­дит через точки М, A1, B1, не ле­жа­щие на одной пря­мой, по­это­му ко­ор­ди­на­ты этих точек удо­вле­тво­ря­ют урав­не­нию плос­ко­сти. Со­ста­вим и решим си­сте­му урав­не­ний:

Из пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ний по­лу­чим, что a = 0. Из вто­ро­го: Под­ста­вив по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты в тре­тье урав­не­ние, по­лу­чим зна­че­ние b:

Таким об­ра­зом, урав­не­ние плос­ко­сти имеет вид:

Рас­сто­я­ние d от точки до плос­ко­сти y + 2z − 8 = 0 ищем по фор­му­ле где x0, y0, z0 — ко­ор­ди­на­ты точки K (2; 4; 0):

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.